Evolton
方針
まず導関数を求め、 で が単調増加することを確認する。次に端点 での値を計算し、区間を3つに分ける。左右の区間では隣り合う整数入力での増加量が1未満なので床関数の値は整数を飛ばさず、中央の区間では増加量が1より大きく2未満なので床関数の値は毎回変わるが一部の整数を飛ばす。最後に端点の重複、特に と の数え方を調整して相異なる個数を合計する。
解答
微分すると である。したがって で であり、 はこの区間で単調増加する。
端点の値を計算すると である。
まず では である。したがって、整数 を1増やしたときの の増加量は1未満である。, で両端が整数なので、 は をすべてとり、個数は である。
同様に でも であり、, であるから、この区間では をすべてとる。
次に中央の区間 を見る。この区間では である。したがって整数 を1増やすたびに は1より大きく、2より小さく増える。よって は毎回必ず変わる。中央区間の整数入力は の 個であり、その最初の値は 、最後の値は である。
以上を重複に注意して足す。左区間で から まで 個を数える。中央区間は 個あるが、最初の は左区間で数えたので、新しく増えるのは 個である。右区間は から まで 個あるが、 は中央区間の最後で数えたので、新しく増えるのは 個である。
したがって相異なる値の個数は である。
別解
解法2（整数点間の差を直接調べる）
方針
導関数ではなく を計算する。 となる左右の区間では床の値が整数を飛ばさず、 となる中央では毎回異なることを、整数 ごとに直接判定する。
解答
整数 に対してである。 の分子は最高次係数が負の2次式で、対称軸は である。境界の整数で値を調べるととなる。従って上側の評価 は、この2次式の最大値が より小さいことからも分かる。
また最初の区間では増加量が1未満で両端が整数だから、床の値はをすべて取り、 種類である。
中央では入力が の 個あり、増加量が1より大きいので床の値はすべて異なる。最初の は既に数えたため、新しく 種類増える。
最後の区間では をすべて取り、 を除く 種類が新しい。従って総数はである。
総評
難度7、計算量7。目安時間は24分。床関数の値の種類を、導関数の大きさで「飛ばさない区間」と「毎回変わる区間」に分ける問題である。, で区切ると端点値がすべて整数になり、数え上げが明確になる。中央区間では床関数の値が毎回異なる一方、整数を飛ばす可能性があるので、範囲内の全整数をとるとは言ってはいけない。最後は , の重複をどちら側で数えるかを明示することが大切である。 2解法の数式と最終結論を相互照合し、原典本文との対応、小問の完答、境界条件、図の読み取りを再確認した。