東京大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$u=z-1$ とおくと $$w=z^2-2z=(z-1{)}^2-1=u^2-1$$ である。ある $w$ に対して $u^2=w+1$ を満たす $u$ を1つ取ると，対応する $z$ は $z=1+u,z=1-u$ の2つである。$u=0$ のときは同じ値になるが，この場合も以下の条件に含まれる。

したがって，$w$ が $T$ に属するためには，$w=z^2-2z$ と表すすべての $z$ が $$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{5}{4}}$$ を満たせばよい。これは $$\mathrm{\mid }1+u\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{5}{4}},\mathrm{\mid }1-u\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{5}{4}}$$ と同値である。 $u=X+Yi$ とおく。この条件は $$(X+1{)}^2+Y^2\leqq {\displaystyle \frac{25}{16}},(X-1{)}^2+Y^2\leqq {\displaystyle \frac{25}{16}}$$ である。$X_0=\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }$ とおくと，2つの不等式のうち厳しい方は中心から遠い側であり，$$Y^2\leqq {\displaystyle \frac{25}{16}}-(1+X_0{)}^2={\displaystyle \frac{9}{16}}-2X_0-X_0^2$$ である。右辺が0以上でなければならないので，特に $0\leqq X_0\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

一方，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }{u}^2-1{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{\mid }(X^2-Y^2-1)+2XYi{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-X_0^2+Y^2{)}^2+4X_0^2{Y}^2}\end{array}$$である。$X_0$ を固定し，$v=Y^2$ とおくと，右辺は $(1-X_0^2+v{)}^2+4X_0^{2}v$ であり，$v$ で微分すると $$2(1-X_0^2+v)+4X_0^2=2(1+X_0^2+v)>0$$ である。したがって，固定した $X_0$ に対して $\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2$ は $Y^2$ が最大のとき最大になる。

よって $$Y^2={\displaystyle \frac{9}{16}}-2X_0-X_0^2$$ を代入すればよい。このとき $$1-X_0^2+Y^2={\displaystyle \frac{25}{16}}-2X_0-2X_0^2$$ であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle \leqq {({\displaystyle \frac{25}{16}}-2X_0-2X_0^2)}^2+4X_0^2({\displaystyle \frac{9}{16}}-2X_0-X_0^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{625}{256}}-{\displaystyle \frac{25}{4}}{X}_0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{625}{256}}}\end{array}$$である。したがって $$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{25}{16}}$$ である。

等号が成り立つには $X_0=0$ かつ $$Y^2={\displaystyle \frac{9}{16}}$$ であればよい。このとき $u=\pm {\displaystyle \frac{3}{4}}i$ であり，実際 $$\mathrm{\mid }1+u\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }1-u\mathrm{\mid }=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{9}{16}}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$$ を満たす。対応する $w$ は $$w=u^2-1=-{\displaystyle \frac{9}{16}}-1=-{\displaystyle \frac{25}{16}}$$ である。よって，$T$ に属する複素数のうち絶対値が最大となるものは $-{\displaystyle \frac{25}{16}}$ である。

条件・検算

集合 $T$ では同じ $w$ を与える2つの逆像がともに円内に必要である。等号時の $$u=\pm {\displaystyle \frac{3i}{4}}$$ は両方の境界条件を満たす。

$u=z-1$ とし、2つの逆像 $1\pm u$ がともに半径 ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ の円内にある条件を使う。2条件を加えて $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }$ を直接評価し、三角不等式で $\mathrm{\mid }{u}^2-1\mathrm{\mid }$ を抑える。

$u=z-1$ とおくと$$w=u^2-1.$$同じ $w$ に対応する2つの逆像は $z=1+u,1-u$ であるから、
$w\in T$ の必要十分条件は$$\mathrm{\mid }1+u\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{5}{4}},\mathrm{\mid }1-u\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{5}{4}}$$である。

2つの不等式を2乗して加えると$$\mathrm{\mid }1+u{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }1-u{\mathrm{\mid }}^2=2(1+\mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^2)\leqq 2{\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$ゆえに三角不等式から$$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{u}^2-1\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^2+1\leqq {\displaystyle \frac{9}{16}}+1={\displaystyle \frac{25}{16}}\mathrm{.}$$両方の等号が成り立つには$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{3}{4}},u^2\leqq 0$$であればよい。よって$$u=\pm {\displaystyle \frac{3}{4}}i\mathrm{.}$$このとき $$\mathrm{\mid }1\pm u\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{5}{4}}$$ で条件を満たし、$$w=u^2-1=-{\displaystyle \frac{25}{16}}\mathrm{.}$$したがって求める $w$ は$$-{\displaystyle \frac{25}{16}}$$である。