東京大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) 図の向きでは、辺 $P_{n+1}{P}_{n+2}$ は辺 $P_n{P}_{n+1}$ を反時計回りに $\pi -\theta$ 回転し、長さを $r$ 倍したものである。特に$$z_2=1+r{e}^{i(\pi -\theta )}=1-r{e}^{-i\theta },z_3-z_2=r^2{e}^{2i(\pi -\theta )}=r^2{e}^{-2i\theta }\mathrm{.}$$$P_0,P_2,P_3$ が同一直線上にあるためには、$z_2$ と $z_3-z_2$ の偏角の差が $0$ または $\pi$ でなければならない。したがって$$\mathrm{Im}\{e^{2i\theta }(1-r{e}^{-i\theta })\}=0.$$左辺は $\sin 2\theta -r\sin \theta$ だから、$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ より$$r=2\cos \theta \mathrm{.}$$この値なら同じ相似関係が以後も繰り返され、条件(a)--(c)を満たす。

(2) $w_n=z_{n+1}-z_n$ とおくと、$w_0=1$ であり$$w_{n+1}=r{e}^{i(\pi -\theta )}{w}_n=-r{e}^{-i\theta }{w}_n\mathrm{.}$$よって、$$q=-2\cos \theta e^{-i\theta }$$ とおけば$$w_n=q^n,z_n=\sum _{k=0}^{n-1}{q}^k={\displaystyle \frac{1-q^n}{1-q}}(n\geqq 1),$$また $z_0=0$ である。すなわち$$z_n={\displaystyle \frac{1-{(-2\cos \theta e^{-i\theta })}^n}{1+2\cos \theta e^{-i\theta }}}\mathrm{.}$$(3) $q\mathrm{\ne }1$ なので、上式より $z_n$ が収束することと $q^n$ が収束することは同値である。$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$ なら $q^n\to 0$ である。$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }>1$ なら絶対値が発散する。$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=1$ で $q^n$ が収束すると仮定すれば、$$(q-1)q^n=q^{n+1}-q^n⟶0$$となるが、$q\mathrm{\ne }1$, $\mathrm{\mid }{q}^n\mathrm{\mid }=1$ に反する。したがって必要十分条件は$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=2\cos \theta <1,$$すなわち$${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である。複素数列 $z_n$ の収束は実部列 $x_n$ と虚部列 $y_n$ がともに収束することと同値なので、主張が示された。

(4) 収束する範囲では$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n={\displaystyle \frac{1}{1+2\cos \theta e^{-i\theta }}}\mathrm{.}$$$$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$$ とおき分母を実数化すると$$\alpha (\theta )={\displaystyle \frac{1+2c^2}{1+8c^2}},\beta (\theta )={\displaystyle \frac{2cs}{1+8c^2}}\mathrm{.}$$よって$$\underset{\theta \to \pi \mathrm{/}3+0}{\lim }\alpha (\theta )={\displaystyle \frac{1}{2}},\underset{\theta \to \pi \mathrm{/}3+0}{\lim }\beta (\theta )={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}\mathrm{.}$$(5) $u={\cos }^2\theta$ とおくと $0<u<1\mathrm{/}4$ であり、$$\beta (\theta {)}^2={\displaystyle \frac{4u(1-u)}{(1+8u{)}^2}}\mathrm{.}$$この右辺を $u$ で微分すると、その符号は $1-10u$ の符号に一致する。したがって $u=1\mathrm{/}10$ で最大となり、$$\beta (\theta {)}^2={\displaystyle \frac{1}{9}}\mathrm{.}$$この範囲で $\beta (\theta )>0$ だから、最大値は$${\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。

条件・検算

収束条件では端点 $\theta =\pi \mathrm{/}3$ を含めない。最大点 ${\cos }^2\theta =1\mathrm{/}10$ は $0<{\cos }^2\theta <1\mathrm{/}4$ の内部にあり、実際に達成される。