東京大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

底面は正方形 $$-1\leqq x\leqq 1,-1\leqq y\leqq 1$$ であり、頂点 $P$ の高さは3である。底面上の点 $(x,y)$ の上にある四角錐の高さを考える。高さ $z$ の水平断面は、底面の正方形を中心から相似に縮めた正方形であり、その半辺は $1-{\displaystyle \frac{z}{3}}$ である。したがって点 $(x,y)$ がその断面の内側にある条件は $\max (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })\leqq 1-{\displaystyle \frac{z}{3}}$ である。よって、その点での高さは $z=3(1-\max (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }))$ である。

対称性により、$0\leqq y\leqq x\leqq 1$ の部分を8倍して考える。この部分では $\max (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })=x$ なので、高さは $3(1-x)$ である。

さらに条件 $x^2+y^2\geqq 1$ を満たす部分を取る。$0\leqq y\leqq x$ で円の外側にあるには、まず $x$ が $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ 以上でなければならない。よって範囲は $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq x\leqq 1,\sqrt{1-x^2}\leqq y\leqq x$$ である。

したがって求める体積 $V$ は$$V=8{\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1{\int }_{\sqrt{1-x^2}}^{x}3(1-x)dydx\mathrm{.}$$である。内側の積分を行うと$$V=24{\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1(1-x)(x-\sqrt{1-x^2})dx\mathrm{.}$$である。

ここで$${\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1(1-x)xdx={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{12}}$$であり、また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1(1-x)\sqrt{1-x^2}dx}& {\displaystyle ={\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1\sqrt{1-x^2}dx-{\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{\pi }{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}})-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}}\end{array}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =24\{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{12}}-({\displaystyle \frac{\pi }{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =24({\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{8}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4+4\sqrt{2}-3\pi }\end{array}$$である。

底面の8分の1、$0\leqq \varphi \leqq \pi \mathrm{/}4$ に絞って極座標を使う。円の外側では $1\leqq r\leqq 1\mathrm{/}\cos \varphi$、四角錐の高さは $3(1-r\cos \varphi )$ である。面積要素 $rdrd\varphi$ を掛けて積分する。

対称性から、底面上で$$0\leqq y\leqq x\leqq 1$$の部分を8倍すればよい。極座標$$x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi$$を用いると$$0\leqq \varphi \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$円 $x^2+y^2=1$ の外側かつ正方形の内側という条件は$$1\leqq r\leqq {\displaystyle \frac{1}{\cos \varphi }}$$である。

この範囲では $x\geqq y\geqq 0$ なので、底面の点 $(x,y)$ の上にある四角錐の高さは$$3(1-x)=3(1-r\cos \varphi )\mathrm{.}$$極座標の面積要素を使うと、体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =8{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\int }_1^{1\mathrm{/}\cos \varphi }3(1-r\cos \varphi )rdrd\varphi }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}({\displaystyle \frac{1}{2{\cos }^2\varphi }}-{\displaystyle \frac{3}{2}}+\cos \varphi )d\varphi \mathrm{.}}\end{array}$$従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =8{[{\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \varphi -{\displaystyle \frac{3}{2}}\varphi +\sin \varphi ]}_0^{\pi \mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4+4\sqrt{2}-3\pi \mathrm{.}}\end{array}$$