東京大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

$f(0)=0$より$c=0$である。また$f(2)=2$より $4a+2b=2$ となるので $b=1-2a$ である。したがって $$f(x)=a{x}^2+(1-2a)x,f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+1-2a$$ である。

まず$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$のときを考える。このとき $$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1-2a\geqq 0,f^{\mathrm{\prime }}(2)=1+2a\geqq 0$$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(x)$は1次式なので，区間$0\leqq x\leqq 2$で常に$f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$となる。よって $$S={\int }_0^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx=f(2)-f(0)=2$$ である。

次に$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$のときを考える。このとき$f^{\mathrm{\prime }}(0)<0$，$f^{\mathrm{\prime }}(2)>0$であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$となる点は $$x_0=1-{\displaystyle \frac{1}{2a}}$$ である。$a>1\mathrm{/}2$より$0<x_0<2$である。この点で$f$は極小となり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x_0)}& {\displaystyle =a{(1-{\displaystyle \frac{1}{2a}})}^2+(1-2a)(1-{\displaystyle \frac{1}{2a}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{(2a-1{)}^2}{4a}}}\end{array}$$である。したがって$S$は，$f(0)=0$から極小値まで下がる長さと，そこから$f(2)=2$まで上がる長さの和で $$S=\{0-f(x_0)\}+\{2-f(x_0)\}=2-2f(x_0)$$ である。よって $$S=2+{\displaystyle \frac{(2a-1{)}^2}{2a}}=2a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}$$ となる。

最後に$a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$のときを考える。このとき$f^{\mathrm{\prime }}(0)>0$，$f^{\mathrm{\prime }}(2)<0$であり，同じ点 $$x_0=1-{\displaystyle \frac{1}{2a}}$$ で$f$は極大となる。$a<-1\mathrm{/}2$より$0<x_0<2$であり，値は同じく $$f(x_0)=-{\displaystyle \frac{(2a-1{)}^2}{4a}}$$ である。今度は$0$から極大値まで上がり，そこから$2$まで下がるので $$S=\{f(x_0)-0\}+\{f(x_0)-2\}=2f(x_0)-2$$ である。したがって $$S=-2a-{\displaystyle \frac{1}{2a}}$$ となる。

以上より$$S=\{\begin{array}{ll}-2a-{\displaystyle \frac{1}{2a}}& (a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ 2& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ 2a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}& (a>{\displaystyle \frac{1}{2}})\end{array}$$である。

(2)

(1) の結果より，$-1\mathrm{/}2\leqq a\leqq 1\mathrm{/}2$では$S=2$である。また$a>1\mathrm{/}2$のときは $2a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}\geqq 2$ であり，$a<-1\mathrm{/}2$のときも $-2a-{\displaystyle \frac{1}{2a}}\geqq 2$ である。したがって$S$の最小値は $2$ である。

別解。最小値だけなら，絶対値積分の基本的な不等式から直接出せる。任意の$f$について$$S={\int }_0^2\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }dx\geqq \mid {\int }_0^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx\mid =\mathrm{\mid }f(2)-f(0)\mathrm{\mid }=2$$である。一方，例えば$f(x)=x$は条件$f(0)=0$，$f(2)=2$を満たし，このとき$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1$だから $$S={\int }_0^{2}1dx=2$$ である。よって最小値はやはり$2$である。

(1) は $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+1-2a$ の零点が区間 $[0,2]$ に入るかを端点の符号で判定し、入る場合だけ積分区間を分割する。(2)は三角不等式 $$\int \mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\geqq \mathrm{\mid }\int f^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$$ で下界2を直接出し、等号を実現する整式を示す。

(1)
$f(0)=0$ と $f(2)=2$ から$$c=0,b=1-2a,$$したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+1-2a\mathrm{.}$$端点での値は$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1-2a,f^{\mathrm{\prime }}(2)=1+2a$$である。

$-1\mathrm{/}2\leqq a\leqq 1\mathrm{/}2$ なら $f^{\mathrm{\prime }}$ は $[0,2]$ で非負だから$$S={\int }_0^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx=2.$$$\mid a\mid >1\mathrm{/}2$ のとき、零点$$x_0=1-{\displaystyle \frac{1}{2a}}$$は $0<x_0<2$ にある。また$$f(x_0)=-{\displaystyle \frac{(2a-1{)}^2}{4a}}\mathrm{.}$$$a>1\mathrm{/}2$ では $f^{\mathrm{\prime }}$ は負から正へ変わるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =-{\int }_0^{x_0}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx+{\int }_{x_0}^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-2f(x_0)=2a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}\mathrm{.}}\end{array}$$$a<-1\mathrm{/}2$ では符号が逆になるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{x_0}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx-{\int }_{x_0}^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2f(x_0)-2=-2a-{\displaystyle \frac{1}{2a}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$S=\{\begin{array}{ll}-2a-{\displaystyle \frac{1}{2a}}& (a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ 2& (-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ 2a+{\displaystyle \frac{1}{2a}}& (a>{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}\end{array}$$(2)　
任意の条件を満たす $f$ に対して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^2\mid f^{\mathrm{\prime }}(x)\mid dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq \mid {\int }_0^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid f(2)-f(0)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2.}\end{array}$$一方、$f(x)=x$ とすれば条件を満たし、$$S={\int }_0^{2}1dx=2.$$したがって $S$ の最小値は$$2$$である。