東大 2013年度理系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

点 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ を複素数 $z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ で表すと、漸化式は $z_{n + 1} = (a + b i) z_{n}$ となる。したがって $z_{n} = (a + b i)^{n}$ である。 $P_{0} = P_{6}$ から6乗根を列挙し、条件 (ii) を「1回から5回では初めての点に戻らない」と読み替えて、位数が6でない $1, - 1$ と3乗根を除く。最後に残った2点を実部・虚部へ戻す。

解答

$z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ とおく。与えられた漸化式は $z_{n + 1} = (a + b i) z_{n}$ と書ける。初期値は $z_{0} = 1$ なので、帰納的に $z_{n} = (a + b i)^{n}$ である。

条件 (i) の $P_{0} = P_{6}$ は $z_{0} = z_{6}$ と同じであり、 $z_{0} = 1$ だから $(a + b i)^{6} = 1$ である。

また条件 (ii) は、 $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{5}$ が相異なることである。特に $P_{k} = P_{0}$ となる $1 ≦ k ≦ 5$ があってはならない。これは $(a + b i)^{k} \neq 1 (k = 1, 2, 3, 4, 5)$ という条件である。 $a + b i$ を極形式で $a + b i = r (\cos θ + i \sin θ)$ と書く。 $(a + b i)^{6} = 1$ より $r^{6} = 1$ であり、 $r ≧ 0$ だから $r = 1$ である。また $6 θ = 2 π m$ を満たす整数 $m$ が存在する。したがって $a + b i = \cos \frac{m π}{3} + i \sin \frac{m π}{3}$ である。

このうち、1乗から5乗では1に戻らないものは、6乗して初めて1になるもの、すなわち $m$ が $6$ と互いに素な場合である。 $m = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ の中では $m = 1, 5$ である。よって $a + b i = \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}$ または $a + b i = \cos \frac{5 π}{3} + i \sin \frac{5 π}{3}$ である。したがって求める $(a, b)$ は $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ である。

総評

難度4、目安時間10分。与えられた実数の漸化式が、複素数 $a + b i$ の掛け算そのものであることに気づけば短く解ける。採点上は $(a + b i)^{6} = 1$ だけで終えず、条件 (ii) により6乗して初めて1になるものだけを残す必要がある。6乗根をすべて答えること、 $- 1$ や原始3乗根を除外し忘れることが典型的な誤りである。得られた2つは単位円上で偏角が $π / 3, 5 π / 3$ の点であり、実際に6点が相異なることもすぐ確認できる。

出典: 東京大学 2013年度前期理科数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

方針

解答

総評

東京大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系数学第1問