東京大学 2018年度理系数学第1問解答・解説

問題

関数

f (x) = \frac{x}{sin x} + cos x (0 < x < π)

の増減表をつくり、

x \to + 0 lim f (x), x \to π - 0 lim f (x)

を求めよ。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

微分して $f^{'} (x)$ を $cos x$ と $x - sin x cos x$ の積に整理する。後者が正であることを、その導関数から示す。すると $f^{'} (x)$ の符号は $- cos x$ の符号だけで決まる。端点の極限は、左端では基本極限 $sin x / x \to 1$ 、右端では $sin x \to + 0$ を使う。

解法2

導関数を $sin 2 x - 2 x$ を含む形に変形し、基本不等式 $sin u < u (u > 0)$ からその符号を一度に決める。極限は $y = π - x$ と置き換え、右端も $y \to + 0$ の形に統一する。

解答

解法1

$0 < x < π$ では $sin x > 0$ である。微分して整理すると

f^{'} (x) = \frac{sin x - x cos x}{sin ^{2} x} - sin x = \frac{cos x ( sin x cos x - x )}{sin ^{2} x} .

ここで

g (x) = x - sin x cos x

とおくと

g^{'} (x) = 1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x > 0 (0 < x < π) .

また $g (0) = 0$ なので $g (x) > 0$ である。したがって $sin x cos x - x < 0$ であり、 $f^{'} (x)$ の符号は $- cos x$ の符号と一致する。

さらに

f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} .

よって増減表は

x f^{'} (x) f (x) + 0 2 - ↘ \frac{π}{2} 0 \frac{π}{2} + ↗ π - 0 + \infty

となる。

左端では

x \to + 0 lim \frac{x}{sin x} = 1, x \to + 0 lim cos x = 1

だから

x \to + 0 lim f (x) = 2.

右端では $x \to π > 0$ 、 $sin x \to + 0$ 、 $cos x \to - 1$ なので

x \to π - 0 lim f (x) = + \infty.

解法2

導関数は

f^{'} (x) = \frac{cos x}{sin ^{2} x} (sin x cos x - x) = \frac{cos x}{2 sin ^{2} x} (sin 2 x - 2 x) .

$0 < x < π$ では $2 x > 0$ であり、 $sin u < u (u > 0)$ より

sin 2 x - 2 x < 0.

したがって

⎩ ⎨ ⎧ f^{'} (x) < 0 f^{'} (x) = 0 f^{'} (x) > 0 (0 < x < \frac{π}{2}), (x = \frac{π}{2}), (\frac{π}{2} < x < π) .

ゆえに $f$ は $x = π /2$ で最小値 $π /2$ をとる。

左端の極限は

x \to + 0 lim f (x) = x \to + 0 lim (\frac{x}{sin x} + cos x) = 1 + 1 = 2.

右端では $y = π - x$ とおくと $y \to + 0$ であり、

f (π - y) = \frac{π - y}{sin y} - cos y .

第1項は $+ \infty$ 、第2項は $- 1$ に近づくから

x \to π - 0 lim f (x) = + \infty.

東京大学 2018年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

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理系数学第1問