東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$0<x<\pi$ では $\sin x>0$ である。微分して整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\frac{\sin x-x\cos x}{{\sin }^{2}x}-\sin x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\cos x(\sin x\cos x-x)}{{\sin }^{2}x}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$g(x)=x-\sin x\cos x$$とおくと$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x>0(0<x<\pi )\mathrm{.}$$また $g(0)=0$ なので $g(x)>0$ である。したがって $\sin x\cos x-x<0$ であり、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $-\cos x$ の符号と一致する。

さらに$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$よって増減表は$$\begin{array}{cccccc}x& +0& & {\displaystyle \frac{\pi }{2}}& & \pi -0\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& & -& 0& +& \\ f(x)& 2& \searrow & {\displaystyle \frac{\pi }{2}}& \nearrow & +\mathrm{\infty }\end{array}$$となる。

左端では$$\underset{x\to +0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1,\underset{x\to +0}{\lim }\cos x=1$$だから$$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=2.$$右端では $x\to \pi >0$、$\sin x\to +0$、$\cos x\to -1$ なので$$\underset{x\to \pi -0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$

導関数を $\sin 2x-2x$ を含む形に変形し、基本不等式 $\sin u<u(u>0)$ からその符号を一度に決める。極限は $y=\pi -x$ と置き換え、右端も $y\to +0$ の形に統一する。

導関数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}(\sin x\cos x-x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\cos x}{2{\sin }^{2}x}(\sin 2x-2x)\mathrm{.}}\end{array}$$$0<x<\pi$ では $2x>0$ であり、$\sin u<u(u>0)$ より$$\sin 2x-2x<0.$$したがって$$\{\begin{array}{ll}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)<0& (0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)=0& (x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}),\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)>0& ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<\pi )\mathrm{.}\end{array}$$ゆえに $f$ は $x=\pi \mathrm{/}2$ で最小値 $\pi \mathrm{/}2$ をとる。

左端の極限は$$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=\underset{x\to +0}{\lim }(\frac{x}{\sin x}+\cos x)=1+1=2.$$右端では $y=\pi -x$ とおくと $y\to +0$ であり、$$f(\pi -y)=\frac{\pi -y}{\sin y}-\cos y\mathrm{.}$$第1項は $+\mathrm{\infty }$、第2項は $-1$ に近づくから$$\underset{x\to \pi -0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$