東京大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x^2-a^2)\mathrm{.}$$よって増減表は$$\begin{array}{cccccc}x& -\mathrm{\infty }& -a& & a& +\mathrm{\infty }\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& 0& -& 0& +\\ f(x)& \nearrow & 2a^3& \searrow & -2a^3& \nearrow \end{array}$$となる。したがって $f(x)=b$ が相異なる3実数解をもつ条件は$$-2a^3<b<2a^3\mathrm{.}$$中央の解 $\beta$ は減少区間 $(-a,a)$ にある。$\beta >1$ が可能であるためには $a>1$ が必要である。このとき $f$ は $1$ を含む区間 $(-a,a)$ で減少するから$$\beta >1⟺f(\beta )<f(1)⟺b<1-3a^2\mathrm{.}$$また $a>1$ では$$(1-3a^2)-(-2a^3)=(a-1{)}^2(2a+1)>0$$かつ $1-3a^2<2a^3$ である。したがって求める範囲は$$a>1,-2a^3<b<1-3a^2\mathrm{.}$$

中央の解を $\beta =t$ とおく。中央の解が属する減少区間と $\beta >1$ から $1<t<a$ を得る。固定した $a>1$ に対して $b=f(t)$ の値域を求め、逆向きも確認することで必要十分条件を直接導く。

中央の解を $\beta =t$ とおく。中央の解は極大点と極小点の間にあるため$$-a<t<a\mathrm{.}$$さらに $t>1$ なので、このような $t$ が存在するには$$a>1,1<t<a$$が必要である。

固定した $a>1$ に対し、$f$ は区間 $(1,a)$ で狭義単調減少する。よって $t$ がこの区間を動くと$$f(a)<f(t)<f(1)\mathrm{.}$$$b=f(t)$ だから$$-2a^3<b<1-3a^2\mathrm{.}$$逆に $a>1$ かつこの不等式を満たす $b$ をとる。減少区間 $(1,a)$ に $f(t)=b$ を満たす点 $t$ がただ1つ存在し、さらに水平線 $y=b$ は極小値と極大値の間にあるので、その左右にも1つずつ交点をもつ。したがって条件1、2の両方を満たす。よって答えは$$a>1,-2a^3<b<1-3a^2$$である。