東京大学 2018年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a > 0$ とし、

f (x) = x^{3} - 3 a^{2} x

とおく。次の2条件を満たす点 $(a, b)$ の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。

条件 1 ：方程式 f (x) = b は相異なる 3 実数解をもつ。 条件 2 ：その解を α < β < γ とすると β > 1 である。

出典：東京大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

解法1

導関数 $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - a^{2})$ から極大値 $2 a^{3}$ 、極小値 $- 2 a^{3}$ を求め、3実数解の条件を水平線 $y = b$ の位置として読む。中央の解 $β$ は減少区間 $(- a, a)$ 上にあるので、 $β > 1$ を $a > 1$ と $b < f (1)$ に直す。最後に境界曲線の上下関係を確認して領域を図示する。

解法2

中央の解を $β = t$ とおく。中央の解が属する減少区間と $β > 1$ から $1 < t < a$ を得る。固定した $a > 1$ に対して $b = f (t)$ の値域を求め、逆向きも確認することで必要十分条件を直接導く。

解答

解法1

f^{'} (x) = 3 (x^{2} - a^{2}) .

よって増減表は

x f^{'} (x) f (x) - \infty + ↗ - a 0 2 a^{3} - ↘ a 0 - 2 a^{3} + \infty + ↗

となる。したがって $f (x) = b$ が相異なる3実数解をもつ条件は

- 2 a^{3} < b < 2 a^{3} .

中央の解 $β$ は減少区間 $(- a, a)$ にある。 $β > 1$ が可能であるためには $a > 1$ が必要である。このとき $f$ は $1$ を含む区間 $(- a, a)$ で減少するから

β > 1 ⟺ f (β) < f (1) ⟺ b < 1 - 3 a^{2} .

また $a > 1$ では

(1 - 3 a^{2}) - (- 2 a^{3}) = (a - 1)^{2} (2 a + 1) > 0

かつ $1 - 3 a^{2} < 2 a^{3}$ である。したがって求める範囲は

a > 1, - 2 a^{3} < b < 1 - 3 a^{2} .

解法2

中央の解を $β = t$ とおく。中央の解は極大点と極小点の間にあるため

- a < t < a .

さらに $t > 1$ なので、このような $t$ が存在するには

a > 1, 1 < t < a

が必要である。

固定した $a > 1$ に対し、 $f$ は区間 $(1, a)$ で狭義単調減少する。よって $t$ がこの区間を動くと

f (a) < f (t) < f (1) .

$b = f (t)$ だから

- 2 a^{3} < b < 1 - 3 a^{2} .

逆に $a > 1$ かつこの不等式を満たす $b$ をとる。減少区間 $(1, a)$ に $f (t) = b$ を満たす点 $t$ がただ1つ存在し、さらに水平線 $y = b$ は極小値と極大値の間にあるので、その左右にも1つずつ交点をもつ。したがって条件1、2の両方を満たす。よって答えは

a > 1, - 2 a^{3} < b < 1 - 3 a^{2}

である。

東京大学 2018年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

東京大学 2018年度
理系数学第4問