横浜国立大学 2023年度 前期文系数学 第2問

(1)
$b_1+b_2\leqq a_1$となる$(b_1,b_2)$の個数は、$a_1=1,2,3,4,5,6$に対してそれぞれ$$0,1,3,6,10,15$$である。したがって求める確率は$$\frac{35}{6^3}=\frac{35}{216}$$である。

(2)
2個のさいころの和が$2,3,\dots ,12$となる個数は$$1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$$である。2つの和が等しくなる場合の数は$$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2=146$$である。全体は${36}^2$通りであり、$a_1+a_2>b_1+b_2$の場合と$a_1+a_2<b_1+b_2$の場合は同数である。よって求める確率は$$\frac{{36}^2-146}{2\cdot {36}^2}=\frac{575}{1296}$$である。

(3)
$a_2=1$とすると、条件は$b_1+b_2\leqq a_1$である。(1)と同じ数え上げにより、この場合の数は35通りである。一方、(2)より条件$a_1+a_2>b_1+b_2$を満たす場合の数は575通りである。したがって求める条件付き確率は$$\frac{35}{575}=\frac{7}{115}$$である。

2つのさいころの差 $d$ は $-5$ から5までをとり、その出方は $6-\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }$ 通りである。(2)は独立な2つの差の和として対称性を使い、(3)は $a_2=1$ を固定して数える。

(1)
$d=a_1-b_1$ とおくと、$d=1,2,3,4,5$ の出方はそれぞれ $5,4,3,2,1$ 通りである。各 $d$ に対して $b_2\leqq d$ は $d$ 通りなので、有利な $(a_1,b_1,b_2)$ は$$5\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot 3+2\cdot 4+1\cdot 5=35$$通りである。よって確率は $35\mathrm{/}{6}^3=35\mathrm{/}216$ である。

(2)
$X=a_1-b_1$, $Y=a_2-b_2$ とおく。差が $d$ となる組は $6-\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }$ 通りだから、$X+Y=0$ となる4個の目の出方は$$\sum _{d=-5}^5(6-\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }{)}^2=36+2(25+16+9+4+1)=146$$通りである。$X+Y>0$ と $X+Y<0$ は、AとBの目をすべて交換する対応により同数である。したがって$$\mathrm{Pr}(X+Y>0)=\frac{6^4-146}{2\cdot 6^4}=\frac{575}{1296}\mathrm{.}$$(3)
$a_2=1$ のもとでは$$a_1+1>b_1+b_2⟺a_1\geqq b_1+b_2$$であり、(1)と同じ35通りである。一方、条件事象は(2)の575通りだから$$\mathrm{Pr}(a_2=1\mid a_1+a_2>b_1+b_2)=\frac{35}{575}=\frac{7}{115}\mathrm{.}$$