岡山大学 2016年度 前期文系数学 第4問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=24x^2-6=6(2x-1)(2x+1)$$である。したがって$x=-\frac{1}{2}$で極大，$x=\frac{1}{2}$で極小となる。$$f(-\frac{1}{2})=1,f\left(\frac{1}{2}\right)=-3$$である。また$x\to -\mathrm{\infty }$で$f(x)\to -\mathrm{\infty }$，$x\to \mathrm{\infty }$で$f(x)\to \mathrm{\infty }$である。よってグラフは$x$軸と3回交わる。したがって$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数は3個である。

(2) $$a=\cos \frac{5\pi }{9}$$とする。三倍角の公式より$$8a^3-6a=2(4a^3-3a)=2\cos \frac{5\pi }{3}$$である。$$\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}$$だから$$f(a)=8a^3-6a-1=2\cdot \frac{1}{2}-1=0$$である。

(3) $$\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{9}<\frac{2\pi }{3}$$であるから$$-\frac{1}{2}<\cos \frac{5\pi }{9}<0$$である。この区間では$f^{\mathrm{\prime }}(x)=24x^2-6<0$となるので，$f(x)$は単調減少である。

ここで$$f(-\frac{1}{5})=8(-\frac{1}{125})-6(-\frac{1}{5})-1=\frac{17}{125}>0$$であり，$$f(-\frac{1}{6})=8(-\frac{1}{216})-6(-\frac{1}{6})-1=-\frac{1}{27}<0$$である。(2)より$$f(\cos \frac{5\pi }{9})=0$$であり，$f$はこの区間で単調減少だから$$-\frac{1}{5}<\cos \frac{5\pi }{9}<-\frac{1}{6}$$である。

(1) は根が $(-1,1)$ にあることを確認して $x=\cos \theta$ とおき，三倍角の公式から3根を直接求める。(2) はその根の1つであることを読む。(3) は3根の位置関係で対象の根を特定し，両端での符号から挟む。

(1) $x\geqq 1$ では $f(1)=1$ かつ $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ なので根はなく，$x\leqq -1$ でも $f(-1)=-3$ かつ $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ なので根はない。したがって根を求めるときは $-1<x<1$ としてよい。

$x=\cos \theta$（$0<\theta <\pi$）とおく。三倍角の公式から$$f(x)=2\cos 3\theta -1$$である。よって $f(x)=0$ は $\cos 3\theta =1\mathrm{/}2$ と同値であり，$0<3\theta <3\pi$ における解は$$3\theta =\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}\mathrm{.}$$したがって3つの実数解は$$x=\cos \frac{\pi }{9},\cos \frac{5\pi }{9},\cos \frac{7\pi }{9}$$であり，個数は3個である。

(2) $a=\cos (5\pi \mathrm{/}9)$ は (1) で得た根の1つだから$$f(a)=0.$$(3) $5\pi \mathrm{/}9$ は $\pi \mathrm{/}2$ と $2\pi \mathrm{/}3$ の間なので，$$-\frac{1}{2}<a<0.$$(1) の3根のうちこの区間にあるものは $a$ だけである。一方，$$f(-\frac{1}{5})=\frac{17}{125}>0,f(-\frac{1}{6})=-\frac{1}{27}<0.$$連続性より区間 $(-1\mathrm{/}5,-1\mathrm{/}6)$ に根があり，その区間は $(-1\mathrm{/}2,0)$ に含まれる。そこにある根は $a$ だけだから$$-\frac{1}{5}<\cos \frac{5\pi }{9}<-\frac{1}{6}$$である。