横浜国立大学 2017年度 前期 微分・指数・対数理系数学 第1問(1)

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2-x)e^x,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(1-x)e^x$$である。$e^x>0$ より、$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ は $x<2$、$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ は $x>2$ である。したがって $f(x)$ は $x<2$ で増加し、$x>2$ で減少する。また $x=2$ で極大値$$f(2)=e^2$$をとる。

次に $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ は $x<1$、$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ は $x>1$ である。したがって $x<1$ で下に凸、$x>1$ で上に凸であり、$x=1$ で変曲点$$(1,2e)$$をもつ。

また $f(0)=3$、$f(3)=0$ である。$x\to -\mathrm{\infty }$ のとき $f(x)\to 0$ で、$x\to \mathrm{\infty }$ のとき $f(x)\to -\mathrm{\infty }$ である。以上を用いて、左側では $x$ 軸に近づき、$(1,2e)$ で凹凸を変え、$(2,e^2)$ で極大となり、$(3,0)$ を通って右下へ下がるグラフとなる。

指数関数が常に正であることを利用し，$f^{\mathrm{\prime }}$ と $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ の符号を一次因子だけで読む。切片と両端の極限を合わせて増減・凹凸表から作図する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2-x)e^x,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(1-x)e^x\mathrm{.}$$$e^x>0$ なので $x<2$ で増加，$x>2$ で減少し，$$(2,e^2)$$が極大点である。また $x<1$ で $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0$，$x>1$ で $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}<0$ だから$$(1,2e)$$が変曲点である。

さらに $f(0)=3,f(3)=0$ で，$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$したがって左では $x$ 軸の上側から0へ近づき，変曲点を通って極大となり，その後 $(3,0)$ を通って右下へ進む。