横浜国立大学 2020年度 前期 微分・三角関数理系数学 第1問(1)

(1)

微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =e^x\cos x-(e^x-1)\sin x-\cos x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(e^x-1)(\cos x-\sin x)\mathrm{.}}\end{array}$$区間内で$$e^x-1\{\begin{array}{ll}<0& (x<0),\\ =0& (x=0),\\ >0& (x>0)\end{array}$$である。また$$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi }{4})$$より、その符号は $x=\pi \mathrm{/}4$ の前後で正から負へ変わる。

したがって$$\begin{array}{cccccccc}x& -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}& & 0& & {\displaystyle \frac{\pi }{4}}& & {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& & -& 0& +& 0& -& \\ f(x)& 1& \searrow & 0& \nearrow & {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}(e^{\pi \mathrm{/}4}-2)& \searrow & -1\end{array}$$となる。

よって $x=0$ で極小値$$0$$をとり、$x=\pi \mathrm{/}4$ で極大値$$\frac{\sqrt{2}}{2}(e^{\pi \mathrm{/}4}-2)$$をとる。この極大値は正である。

導関数の二因子を別々の符号表にし、符号の積だけで増減を決める。グラフについては、増減に加えて4つの主要値と極大値の正負を確認する。

(1)

導関数は$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(e^x-1)(\cos x-\sin x)$$である。二因子の符号を並べると$$\begin{array}{cccccc}x& (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)& 0& (0,{\displaystyle \frac{\pi }{4}})& {\displaystyle \frac{\pi }{4}}& ({\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ e^x-1& -& 0& +& +& +\\ \cos x-\sin x& +& +& +& 0& -\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& 0& +& 0& -\end{array}$$となる。したがって、順に減少・増加・減少である。

主要な値は$$f(-\frac{\pi }{2})=1,f(0)=0,$$$$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(e^{\pi \mathrm{/}4}-2),f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-1.$$また$$e^{\pi \mathrm{/}4}>1+\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2>2$$だから、極大値は正である。

よって極小値は$$f(0)=0,$$極大値は$$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(e^{\pi \mathrm{/}4}-2)$$であり、グラフは解法1の図の形になる。