熊本大学 2018年度文理共通数学第1問（文系学部）解答・解説

問題

$p, q$ を整数とする。関数

f (x) = x^{3} - p x^{2} + (p^{2} - 2 p) x + q

について、次の問いに答えよ。

(問1) $f (x)$ が極値をもつときの整数 $p$ の値をすべて求めよ。

(問2) 方程式

f (x) = 0

が負の解を1つと相異なる正の解を2つもつとき、整数 $p, q$ の値を求めよ。

出典：熊本大学 2018年度前期文理共通第1問

方針

解法1

極値をもつ条件は導関数の判別式で整数 $p$ を絞る。各 $p$ について極大値と極小値の符号，さらに根の正負を調べる。整数 $q$ まで含めると候補は少数に限られる。

解法2

導関数を平方完成して極値条件を読む。問2では根の積から $q > 0$ を得たうえで、各 $p$ の極小値の符号を調べ、整数条件を使う。

解答

解法1

(問1)

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 p x + p^{2} - 2 p

である。 $f (x)$ が極値をもつためには， $f^{'} (x) = 0$ が相異なる2実解をもてばよい。よって判別式について

(- 2 p)^{2} - 12 (p^{2} - 2 p) > 0

が必要十分である。整理すると

- 8 p^{2} + 24 p > 0

すなわち

0 < p < 3

である。 $p$ は整数であるから

p = 1, 2

である。

(問2)

(問1)より $p = 1, 2$ のみを調べればよい。

$p = 1$ のとき

f (x) = x^{3} - x^{2} - x + q

であり，極小点は $x = 1$ である。相異なる正の解を2つもつには $f (1) < 0$ が必要なので $q < 1$ である。一方，負の解1つと正の解2つをもつなら，3つの解の積は負であるから，定数項 $q$ は正でなければならない。整数 $q$ で $0 < q < 1$ を満たすものはない。

$p = 2$ のとき

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + q

である。極大点は $x = 0$ ，極小点は $x = \frac{4}{3}$ であり，

f (0) = q, f (\frac{4}{3}) = q - \frac{32}{27}

である。3つの相異なる実数解をもち，かつ正の解を2つもつには

q > 0, q - \frac{32}{27} < 0

が必要である。 $q$ は整数であるから $q = 1$ である。このとき

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 1 = (x - 1) (x^{2} - x - 1)

となり，解は

1, \frac{1 + 5}{2}, \frac{1 - 5}{2}

であるから，条件を満たす。よって

p = 2, q = 1

である。

解法2

(問1)

導関数を平方完成すると

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 p x + p^{2} - 2 p = 3 (x - \frac{p}{3})^{2} + \frac{2 p ( p - 3 )}{3} .

上に開く2次関数 $f^{'} (x)$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は

\frac{2 p ( p - 3 )}{3} < 0,

すなわち

0 < p < 3

である。 $p$ は整数なので

p = 1, 2.

(問2)

負の解を $α$ 、二つの正の解を $β, γ$ とすると

α β γ < 0.

一方、解と係数の関係から

α β γ = - q

なので

q > 0.

$p = 1$ のとき

f (x) = x^{3} - x^{2} - x + q, f^{'} (x) = (3 x + 1) (x - 1) .

正の側の極小点は $x = 1$ である。正の異なる2解をもつためには

f (1) = q - 1 < 0

が必要である。よって

0 < q < 1,

となり、整数 $q$ は存在しない。

$p = 2$ のとき

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + q, f^{'} (x) = x (3 x - 4) .

極大点 $x = 0$ と極小点 $x = 4/3$ の値は

f (0) = q, f (\frac{4}{3}) = q - \frac{32}{27} .

3個の相異なる実数解をもつには

0 < q < \frac{32}{27} .

整数条件から $q = 1$ である。実際

x^{3} - 2 x^{2} + 1 = (x - 1) (x^{2} - x - 1)

であり、解は

\frac{1 - 5}{2} < 0 < 1 < \frac{1 + 5}{2} .

したがって

p = 2, q = 1.

熊本大学 2018年度文理共通数学 第1問（文系学部）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

解法2

(問1)

(問2)

熊本大学 2018年度
文理共通数学第1問（文系学部）