熊本大学 2018年度
文理共通数学 第4問（理工系）
- 試験区分
- 前期
- 対象
- 医（医学科）学部 理，医（放射線技術科，検査技術科学専攻），工，薬学部【４】の類題
- 分野
- 微分、積分
- 解法
- 増減表、微分による最大最小、置換積分
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 18分
問題
関数
について、次の問いに答えよ。
(問1) f(x) の極大値を求めよ。
(問2) −3≦x≦0 とするとき
F(x)=∫xx+3f(t)dt
の最大値と最小値を求めよ。
出典：熊本大学 2018年度 前期 文理共通 第4問
方針
解法1
f(x)=∣x∣x+3 として，[−3,0] と [0,∞) で式を分けて極大値を調べる。F については端点微分で F′(x)=f(x+3)−f(x) とし，増減から最小点と最大候補の端点を決める。端点値と最小値を置換積分で計算する。
解法2
非負関数 f の代わりに g=f2=x2(x+3) の増減を調べて極大値を得る。F′ は端点値の平方差で符号判定し、端点と最小点の積分値を比較する。
解答
解法1
(問1)
である。−3<x<0 では
であるから
f′(x)=−x+3−2x+3x=−2x+33(x+2)
である。よって −3<x<−2 で増加し，−2<x<0 で減少する。したがって極大値は
f(−2)=2
である。なお x>0 では f(x)=xx+3 は増加するので，ほかに極大値はない。
(問2)
−3<x<0 で
F′(x)=f(x+3)−f(x)
である。ここで
f(x)=(−x)x+3,f(x+3)=(x+3)x+6
だから，F′(x)=0 は
と同値であり，これを解くと
x=−2
である。また
f(x+3)2−f(x)2=9(x+3)(x+2)
より，F(x) は −3<x<−2 で減少し，−2<x<0 で増加する。したがって最小値は F(−2)，最大値は F(−3) と F(0) の大きい方である。
まず
F(−2)=∫−21∣t∣t+3dt=524(3−1)
である。また
F(−3)=∫−30(−t)t+3dt=5123
であり，
F(0)=∫03tt+3dt=512(6+3)
である。よって最大値と最小値はそれぞれ
である。
解法2
(問1)
g(x)=f(x)2=x2(x+3)
とおく。f(x)≧0 なので、f と g の増減は同じである。
g′(x)=3x(x+2).
したがって −3<x<−2 で g は増加し、−2<x<0 で減少する。x>0 では増加するので、極大点は x=−2 だけである。よって極大値は
f(−2)=2.
(問2)
F′(x)=f(x+3)−f(x).
二項は非負なので、その符号は平方差
f(x+3)2−f(x)2=(x+3)2(x+6)−x2(x+3)=9(x+3)(x+2)
の符号と一致する。よって F は
[−3,−2]
で減少し、
[−2,0]
で増加する。最小値は
最大値は両端を比較すればよい。置換 u=t+3 により
F(−3)=∫−30(−t)t+3dt=5123,
F(0)=∫03tt+3dt=512(6+3).
したがって最大値は
最小値は
