熊本大学 2018年度文理共通数学第2問（医学部医学科）解答・解説

問題

$m, n$ を整数とする。 $x y$ 平面上の4点

(m, n), (m - 1, n), (m - 1, n - 1), (m, n - 1)

を頂点にもつ正方形を $R_{(m, n)}$ と表す。

初めに、1辺の長さが $1$ のさいころが $R_{(1, 1)}$ に $1$ の目を上にして置かれている。1枚の硬貨を投げ、表が出たらさいころを $x$ 軸の正の方向へ $1$ だけ転がして移し、裏が出たら $y$ 軸の正の方向へ $1$ だけ転がして移す。ただし、さいころの向かい合う面の目の数の和は $7$ であるとする。次の問いに答えよ。

(問1) 硬貨を5回投げたあとに、さいころが $R_{(3, 4)}$ の位置にある確率を求めよ。

(問2) 硬貨を2回投げたあとにさいころの $6$ の目が上にあるという条件の下で、硬貨を5回投げたあとにさいころが $R_{(3, 4)}$ の位置にある条件付き確率を求めよ。

(問3) 硬貨を5回投げたとき、初めから5回目の移動までにさいころの6通りの目がすべて上に現れる確率を求めよ。

出典：熊本大学 2018年度前期文理共通第2問

方針

解法1

問1と問2は位置と2回後の上面条件を数える。問3では初期上面を含む6回の上面観察で6種類すべてが出る列を数える。表を $X$ ，裏を $Y$ とし，実際に上面が重複しない5手列を列挙する。

解法2

問3では最初の3回の並びを分類する。最初が $X$ の場合を3型に分け、残り2回を姿勢図で判定し、 $X$ と $Y$ の対称性で全体を数える。

解答

解法1

(問1)

$R_{(1, 1)}$ から $R_{(3, 4)}$ へ移るには， $x$ 軸方向に2回， $y$ 軸方向に3回進めばよい。よって求める確率は

\frac{_{5} C _{2}}{2 ^{5}} = \frac{5}{16}

である。

(問2)

2回後に $6$ の目が上にあるのは，最初の2回が同じ方向である場合，すなわち $X X$ または $Y Y$ の場合である。 $X X$ の後に $R_{(3, 4)}$ に着くには残りが $Y Y Y$ の1通りである。 $Y Y$ の後に $R_{(3, 4)}$ に着くには，残り3回のうち $X$ が2回， $Y$ が1回であればよいので3通りである。

条件のもとで残り3回は全部で $2 \cdot 2^{3}$ 通りであるから，求める条件付き確率は

\frac{1 + 3}{2 \cdot 2 ^{3}} = \frac{1}{4}

である。

(問3)

初めの上面は $1$ である。5回の移動後までに6通りの目がすべて上に現れるためには，5回の移動による上面が互いに異なり，かついずれも初めの $1$ と異なればよい。表を $X$ ，裏を $Y$ として上面を追うと，条件を満たす列は

Y Y X Y Y, X Y Y X Y, Y X Y X Y, X Y X X Y, Y X X X Y, X Y Y Y X, Y X Y Y X, X Y X Y X, Y X X Y X, X X Y X X

の10通りである。したがって求める確率は

\frac{10}{2 ^{5}} = \frac{5}{16}

である。

解法2

(問1)

目標位置には $X$ を2回、 $Y$ を3回出せばよいから

\frac{_{5} C _{2}}{2 ^{5}} = \frac{5}{16} .

(問2)

2回後に $6$ が上にあるのは

X X, Y Y

の2通りである。 $X X$ の後は $Y Y Y$ の1通り、 $Y Y$ の後は $X$ が2回、 $Y$ が1回の3通りが目標位置に着く。したがって

\frac{1 + 3}{2 \cdot 2 ^{3}} = \frac{1}{4} .

(問3)

6種類の面を初期状態を含む6回の観察ですべて上に出すには、最初の3回までに $X, Y$ が少なくとも1回ずつ現れる必要がある。

最初の1回が $X$ の場合、最初の3回を分類すると次の表になる。

最初の 3 回 X X Y X Y X X Y Y 残り 2 回 X X X Y, Y X X Y, Y X 完成する列 X X Y X X X Y X X Y, X Y X Y X X Y Y X Y, X Y Y Y X

したがって、最初が $X$ の列は5通りである。 $X$ と $Y$ を交換する対称性により、最初が $Y$ の列も5通りである。合計10通りなので

\frac{10}{2 ^{5}} = \frac{5}{16} .

実際、残りの5列は

Y Y X Y Y, Y X Y X Y, Y X X Y X, Y X Y Y X, Y X X X Y

であり、重複はない。

熊本大学 2018年度文理共通数学 第2問（医学部医学科）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2018年度
文理共通数学第2問（医学部医学科）