熊本大学 2018年度文理共通数学第1問（理工系2）解答・解説

問題

$t$ を実数とする。空間の4点

A (1, 5, 0), B (4, 2, 0), C (t, 2 t, t - 1), D (1, 6, 1)

について、次の問いに答えよ。

(問1) $△ A B C$ が直角三角形になる $t$ の値をすべて求めよ。

(問2) 4点 $A, B, C, D$ が同一平面上にあるような $t$ の値を求めよ。

(問3) $∠ B A C$ が直角のとき、四面体 $A B C D$ の体積を求めよ。

出典：熊本大学 2018年度前期文理共通第1問

方針

解法1

直角三角形の条件は，頂点 $A, B, C$ のどこが直角かで3通りの内積条件を立てる。同一平面条件は $A D = r A B + s A C$ とおいて成分比較する。最後は $∠ B A C = 9 0^{\circ}$ の値 $t = 4$ で，底面積と高さから四面体の体積を計算する。

解法2

3辺の長さの二乗を求め、直角の位置ごとに三平方の定理を適用する。同一平面条件は平面 $A B D$ の法線ベクトルで判定し、体積にも同じ法線を利用する。

解答

解法1

(問1)

A B = (3, - 3, 0), A C = (t - 1, 2 t - 5, t - 1), B C = (t - 4, 2 t - 2, t - 1)

である。

$∠ B A C = 9 0^{\circ}$ のとき

A B \cdot A C = 0

より $t = 4$ である。 $∠ A B C = 9 0^{\circ}$ のとき

B A \cdot B C = 0

より $t = - 2$ である。 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ のとき

C A \cdot C B = 0

であり，計算すると

3 (2 t - 5) (t - 1) = 0

となるから， $t = 1, \frac{5}{2}$ である。よって求める値は

t = - 2, 1, \frac{5}{2}, 4

である。

(問2)

A D = (0, 1, 1)

である。4点 $A, B, C, D$ が同一平面上にあるための条件は，ある実数 $r, s$ を用いて

A D = r A B + s A C

と表せることである。成分を比べると

(0, 1, 1) = (3 r + s (t - 1), - 3 r + s (2 t - 5), s (t - 1))

である。 $t = 1$ のとき右辺の第3成分は $0$ となり不適である。よって $t \neq = 1$ として，第3成分から

s = \frac{1}{t - 1}

である。第1成分から $3 r + 1 = 0$ ，すなわち $r = - \frac{1}{3}$ である。第2成分を用いると

1 + \frac{2 t - 5}{t - 1} = 1

となるから

t = \frac{5}{2}

である。

(問3)

$∠ B A C = 9 0^{\circ}$ のとき，(問1)より $t = 4$ である。このとき

A C = (3, 3, 3)

であり， $A B ⊥ A C$ であるから，底面 $△ A B C$ の面積は

\frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 33 = \frac{9 6}{2}

である。また，平面 $A B C$ の方程式は

x + y - 2 z - 6 = 0

であり，点 $D (1, 6, 1)$ からこの平面までの距離は

\frac{∣1 + 6 - 2 - 6∣}{1 ^{2} + 1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{6}

である。したがって四面体 $A B C D$ の体積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{9 6}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{2}

である。

解法2

(問1)

3辺の長さの二乗は

A B^{2} = 18,

A C^{2} = 6 t^{2} - 24 t + 27, B C^{2} = 6 t^{2} - 18 t + 21.

$A$ が直角のとき

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

より $t = 4$ である。

$B$ が直角のとき

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}

より $t = - 2$ である。

$C$ が直角のとき

A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}

より

2 t^{2} - 7 t + 5 = 0,

したがって

t = 1, \frac{5}{2} .

以上より

t = - 2, 1, \frac{5}{2}, 4.

(問2)

A B = (3, - 3, 0), A D = (0, 1, 1) .

ベクトル

n = (1, 1, - 1)

はこの両方に垂直である。したがって4点が同一平面上にあるための必要十分条件は

n \cdot A C = 0.

よって

(t - 1) + (2 t - 5) - (t - 1) = 0,

すなわち

t = \frac{5}{2} .

(問3)

$∠ B A C = 9 0^{\circ}$ のとき $t = 4$ である。

∣ A B ∣ = 32, ∣ A C ∣ = 33

より

[A B C] = \frac{9 6}{2} .

このとき平面 $A B C$ の法線は $(1, 1, - 2)$ で、方程式は

x + y - 2 z - 6 = 0.

点 $D$ からの距離は

\frac{∣1 + 6 - 2 - 6∣}{6} = \frac{1}{6} .

よって四面体の体積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{9 6}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{2} .

熊本大学 2018年度文理共通数学 第1問（理工系2）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2018年度
文理共通数学第1問（理工系2）