熊本大学 2018年度文理共通数学第3問（医学部医学科2）解答・解説

問題

$m, n$ を整数とする。 $x y$ 平面上の4点

(m, n), (m - 1, n), (m - 1, n - 1), (m, n - 1)

を頂点にもつ正方形を $R_{(m, n)}$ と表す。

初めに、1辺の長さが $1$ のさいころが $R_{(1, 1)}$ に $1$ の目を上にして置かれている。1枚の硬貨を投げ、表が出たらさいころを $x$ 軸の正の方向へ $1$ だけ転がして移し、裏が出たら $y$ 軸の正の方向へ $1$ だけ転がして移す。ただし、さいころの向かい合う面の目の数の和は $7$ であるとする。次の問いに答えよ。

(問1) 硬貨を5回投げたあとに、さいころが $R_{(3, 4)}$ の位置にある確率を求めよ。

(問2) 硬貨を2回投げたあとにさいころの $6$ の目が上にあるという条件の下で、硬貨を5回投げたあとにさいころが $R_{(3, 4)}$ の位置にある条件付き確率を求めよ。

(問3) 硬貨を5回投げたあとに、さいころの $1$ の目が上にある確率を求めよ。

出典：熊本大学 2018年度前期文理共通第3問

方針

解法1

位置は5回中の $x$ 方向移動回数と $y$ 方向移動回数で決まる。2回後に上面が6になるのは同じ方向に2回続けて転がした場合である。5回後に上面が1になる確率は，表を $X$ ，裏を $Y$ として上面の状態を追い，該当する列を数える。

解法2

表を $X$ 、裏を $Y$ とし、初めに上を向く「1の面」の法線ベクトルだけを90度回転で追跡する。全32列を短い漸化式で漏れなく判定する。

解答

解法1

(問1)

$R_{(1, 1)}$ から $R_{(3, 4)}$ へ移るには， $x$ 軸方向に2回， $y$ 軸方向に3回進めばよい。5回のうち $x$ 軸方向に進む2回を選べばよいから，求める確率は

\frac{_{5} C _{2}}{2 ^{5}} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}

である。

(問2)

2回後に $6$ の目が上にあるのは，最初の2回がともに $x$ 軸方向，またはともに $y$ 軸方向である場合である。前者の場合，残り3回はすべて $y$ 軸方向でなければならないので1通りである。後者の場合，残り3回のうち $x$ 軸方向が2回， $y$ 軸方向が1回であればよいので3通りである。

条件を満たす最初の2回は2通りであり，その後の3回は全部で $2^{3}$ 通りである。したがって求める条件付き確率は

\frac{1 + 3}{2 \cdot 2 ^{3}} = \frac{1}{4}

である。

(問3)

表を $X$ ，裏を $Y$ と書く。5回後に $1$ の目が上に戻る列を，さいころの上面だけを追って調べると

Y X Y Y Y, X Y X Y Y, Y Y Y X Y, X X Y X Y, Y Y X Y X, X X X Y X, Y X Y X X, X Y X X X

の8通りである。したがって求める確率は

\frac{8}{2 ^{5}} = \frac{1}{4}

である。

解法2

(問1)

5回後に $R_{(3, 4)}$ にいるためには、 $X$ が2回、 $Y$ が3回出ればよい。したがって

\frac{_{5} C _{2}}{2 ^{5}} = \frac{5}{16} .

(問2)

2回後に $6$ が上にあるのは、初めに上にあった $1$ の面が下を向くときであり、最初の2回が

X X または Y Y

の場合である。

$X X$ の後は $Y Y Y$ の1通り、 $Y Y$ の後は残り3回中に $X$ が2回ある3通りが目標位置に着く。条件の下の全事象は

2 \cdot 2^{3} = 16

通りなので

\frac{1 + 3}{16} = \frac{1}{4} .

(問3)

初めに $1$ の面の外向き法線を

v_{0} = (0, 0, 1)

とする。さいころを $x$ 方向、 $y$ 方向へ転がしたとき、この法線の座標はそれぞれ

X : (u, v, w) ⟼ (w, v, - u),

Y : (u, v, w) ⟼ (u, w, - v)

と移る。5文字の列にこの変換を順に適用し、最後に

v_{5} = (0, 0, 1)

となる列を調べると

X X X Y X Y X Y X X X X Y X Y Y X Y Y Y X Y X X X Y Y X Y X X Y X Y Y Y Y Y X Y

の8通りである。よって

\frac{8}{2 ^{5}} = \frac{1}{4} .

熊本大学 2018年度文理共通数学 第3問（医学部医学科2）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2018年度
文理共通数学第3問（医学部医学科2）