熊本大学 2018年度文理共通数学第2問（文系学部）解答・解説

問題

正三角形 $A B C$ が半径 $1$ の円に内接しているとする。点 $P$ は $A, B$ と異なる点で、 $A, B$ を両端とし点 $C$ を含まない弧の上を動くものとする。次の問いに答えよ。

(問1) $∠ P B A = θ$ とおくとき、 $P A, P B, P C$ をそれぞれ $θ$ を用いて表せ。また

P A + P B + P C

の最大値を求めよ。

(問2)

P A^{2} + P B^{2} + P C^{2}

を求めよ。

出典：熊本大学 2018年度前期文理共通第2問

方針

解法1

円周角から弧に対する中心角を読み，半径1の円の弦長公式 $2 sin \frac{α}{2}$ で $P A, P B, P C$ を表す。和は三角関数の和積変形で $4 cos (θ - π /6)$ に整理する。二乗和は中心を原点に置いたベクトル計算で一定値を出す。

解法2

円に内接する四角形 $A P B C$ にトレミーの定理を使い、3辺の和を弦 $P C$ の長さだけで表す。二乗和は弦長表示を三角恒等式で整理する。

解答

解法1

(問1)

$P$ は点 $C$ を含まない弧 $A B$ 上にあるので

0 < θ < \frac{π}{3}

である。円の半径は $1$ であり，弦の長さは対応する中心角の半分の正弦の $2$ 倍である。 $∠ P B A = θ$ より弧 $P A$ の中心角は $2 θ$ であるから

P A = 2 sin θ

である。また弧 $P B$ の中心角は $\frac{2 π}{3} - 2 θ$ であるから

P B = 2 sin (\frac{π}{3} - θ)

である。さらに

P C = 2 sin (\frac{2 π}{3} - θ)

である。

したがって

P A + P B + P C = 2 {sin θ + sin (\frac{π}{3} - θ) + sin (\frac{2 π}{3} - θ)}

である。ここで

sin θ + sin (\frac{π}{3} - θ) = cos (θ - \frac{π}{6})

かつ

sin (\frac{2 π}{3} - θ) = cos (θ - \frac{π}{6})

であるから

P A + P B + P C = 4 cos (θ - \frac{π}{6})

である。 $0 < θ < \frac{π}{3}$ より，最大値は $θ = \frac{π}{6}$ のとき

4

である。

(問2)

円の中心を $O$ とする。 $O$ を原点とするベクトルで点 $A, B, C, P$ を表すと， $∣ A ∣ = ∣ B ∣ = ∣ C ∣ = ∣ P ∣ = 1$ であり，正三角形の対称性より

A + B + C = 0

である。したがって

P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = ∣ P - A ∣^{2} + ∣ P - B ∣^{2} + ∣ P - C ∣^{2}

= 3∣ P ∣^{2} + ∣ A ∣^{2} + ∣ B ∣^{2} + ∣ C ∣^{2} - 2 P \cdot (A + B + C) = 6

である。

解法2

(問1)

円に内接する四角形 $A P B C$ にトレミーの定理を用いると

A B \cdot P C = A P \cdot B C + P B \cdot C A .

正三角形 $A B C$ は半径 $1$ の円に内接するので

A B = B C = C A = 3 .

したがって

P C = A P + P B .

よって

P A + P B + P C = 2 P C .

半径 $1$ の円の弦は直径を超えないから

P C ≦ 2.

点 $P$ が $C$ の対蹠点であるとき等号が成り立ち、この点は弧 $A B$ の条件を満たす。したがって最大値は

4.

各長さについては円周角と正弦定理から

P A = 2 sin θ,

P B = 2 sin (\frac{π}{3} - θ), P C = 2 sin (\frac{2 π}{3} - θ) .

(問2)

上の弦長表示より

P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = 4 {sin^{2} θ + sin^{2} (\frac{π}{3} - θ) + sin^{2} (\frac{2 π}{3} - θ)} .

$sin^{2} u = (1 - cos 2 u) /2$ を用いる。このとき

cos 2 θ + cos (\frac{2 π}{3} - 2 θ) + cos (\frac{4 π}{3} - 2 θ) = 0.

したがって波括弧内は $3/2$ であり

P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = 6.

熊本大学 2018年度文理共通数学 第2問（文系学部）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

解法2

(問1)

(問2)

熊本大学 2018年度
文理共通数学第2問（文系学部）