熊本大学 2018年度文理共通数学第3問（理工系）解答・解説

問題

$n$ を $2$ 以上の自然数とする。区間 $[0, 1]$ を $n$ 等分し、その両端と分点を順に

0 = x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - 1}, x_{n} = 1

とする。関数

f (x) = a x^{2} + b x + c (a > 0, b ≧ 0, c > 0)

に対し、区間 $[x_{k - 1}, x_{k}]$ を底辺とし、高さが $f (x_{k})$ である長方形の面積を $L_{k}$ とする。ただし $k = 1, 2, \dots, n$ である。

すべての $n$ に対して

L_{1} + L_{n} = \frac{10}{n} + \frac{8}{n ^{3}}

であるとき、次の問いに答えよ。

(問1) $a, b, c$ を求めよ。

(問2)

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n k L_{k}

を求めよ。

(問3)

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n k^{2} L_{k}

を求めよ。

出典：熊本大学 2018年度前期文理共通第3問

方針

解法1

$x_{k} = k / n$ として $L_{k} = f (k / n) / n$ を書く。 $L_{1} + L_{n}$ を $1/ n, 1/ n^{2}, 1/ n^{3}$ の係数で比較し， $a, b, c$ を決める。後半は $k / n$ を用いて区分求積の形に直して定積分で評価する。

解法2

問1は $n$ の恒等式として係数比較する。問2・問3は区分求積を使わず、自然数のべき和公式から極限を直接計算して結果を照合する。

解答

解法1

(問1)

$x_{k} = \frac{k}{n}$ であり，長方形の底辺の長さは $\frac{1}{n}$ であるから

L_{k} = \frac{1}{n} f (\frac{k}{n})

である。したがって

L_{1} + L_{n} = \frac{1}{n} {f (\frac{1}{n}) + f (1)}

である。これを展開すると

L_{1} + L_{n} = \frac{a + b + 2 c}{n} + \frac{b}{n ^{2}} + \frac{a}{n ^{3}}

である。これがすべての $n$ について

\frac{10}{n} + \frac{8}{n ^{3}}

に等しいので，係数を比較して

a = 8, b = 0, c = 1

である。

(問2)

(問1)より $f (x) = 8 x^{2} + 1$ である。したがって

\frac{1}{n} k = 1 \sum n k L_{k} = k = 1 \sum n \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{n} f (\frac{k}{n})

である。区分求積法により

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n k L_{k} = \int_{0}^{1} x (8 x^{2} + 1) d x = \frac{5}{2}

である。

(問3)

同様に

\frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n k^{2} L_{k} = k = 1 \sum n \frac{1}{n} (\frac{k}{n})^{2} f (\frac{k}{n})

である。よって

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n k^{2} L_{k} = \int_{0}^{1} x^{2} (8 x^{2} + 1) d x = \frac{8}{5} + \frac{1}{3} = \frac{29}{15}

である。

解法2

(問1)

L_{k} = \frac{1}{n} f (\frac{k}{n})

なので

L_{1} + L_{n} = \frac{a + b + 2 c}{n} + \frac{b}{n ^{2}} + \frac{a}{n ^{3}} .

両辺に $n^{3}$ を掛けると

(a + b + 2 c) n^{2} + bn + a = 10 n^{2} + 8.

これはすべての $n ≧ 2$ で成り立つから

a = 8, b = 0, a + b + 2 c = 10.

よって

a = 8, b = 0, c = 1.

(問2)

f (x) = 8 x^{2} + 1

より

\frac{1}{n} k = 1 \sum n k L_{k} = k = 1 \sum n (\frac{8 k ^{3}}{n ^{4}} + \frac{k}{n ^{2}}) .

べき和公式

k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}, k = 1 \sum n k^{3} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2}

を用いると、極限は

8 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} .

(問3)

同様に

\frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n k^{2} L_{k} = \frac{8}{n ^{5}} k = 1 \sum n k^{4} + \frac{1}{n ^{3}} k = 1 \sum n k^{2} .

ここで

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{5}} k = 1 \sum n k^{4} = \frac{1}{5}, n \to \infty lim \frac{1}{n ^{3}} k = 1 \sum n k^{2} = \frac{1}{3} .

したがって

8 \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{29}{15} .

熊本大学 2018年度文理共通数学 第3問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2018年度
文理共通数学第3問（理工系）