熊本大学 2018年度文理共通数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

複素数平面上で

∣ z + i ∣ - ∣ z - i ∣ = 1

を満たす点 $z$ の全体を $H$ とおく。複素数の偏角 $θ$ は

0 ≦ θ < 2 π

の範囲でとるものとする。次の問いに答えよ。

(問1) $H$ 上の点 $z$ に対して、 $z$ の偏角 $θ_{1}$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(問2) $H$ 上の点 $z$ に対して

w = \frac{1}{z}

とする。 $w$ の絶対値 $r_{2}$ と偏角 $θ_{2}$ のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ。

出典：熊本大学 2018年度前期文理共通第3問

方針

解法1

$z = r (cos θ + i sin θ)$ とおき，二つの距離を $A, B$ とする。 $A - B = 1$ と $A^{2} - B^{2} = 4 r sin θ$ から $A + B = 4 r sin θ$ を得て， $r^{2}$ を $θ$ で表す。 $w = 1/ z$ では偏角が反対向きになり，絶対値は逆数になることを使う。

解法2

$z = x + i y$ とおいて軌跡を直交座標の双曲線として求める。上側の枝と漸近線から偏角範囲を読み、原点からの最短距離で逆数の絶対値範囲を決める。

解答

解法1

(問1)

$z = r (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ とおく。また

A = ∣ z + i ∣, B = ∣ z - i ∣

とおくと，条件は $A - B = 1$ である。一方

A^{2} = r^{2} + 1 + 2 r sin θ_{1}, B^{2} = r^{2} + 1 - 2 r sin θ_{1}

であるから

A^{2} - B^{2} = 4 r sin θ_{1}

である。 $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ より

A + B = 4 r sin θ_{1}

である。したがって $sin θ_{1} > 0$ である。

さらに

B = \frac{( A + B ) - ( A - B )}{2} = \frac{4 r sin θ _{1} - 1}{2}

であり，これを

B^{2} = r^{2} + 1 - 2 r sin θ_{1}

に代入すると

r^{2} = \frac{3}{4 ( 4 sin ^{2} θ _{1} - 1 )}

を得る。よって $4 sin^{2} θ_{1} - 1 > 0$ であり， $sin θ_{1} > 0$ と合わせて

sin θ_{1} > \frac{1}{2}

である。したがって

\frac{π}{6} < θ_{1} < \frac{5 π}{6}

である。

(問2)

$w = \frac{1}{z}$ であるから

r_{2} = \frac{1}{r}, θ_{2} = 2 π - θ_{1}

である。ただし偏角は $0 ≦ θ_{2} < 2 π$ でとる。問1より

\frac{π}{6} < θ_{1} < \frac{5 π}{6}

であるから

\frac{7 π}{6} < θ_{2} < \frac{11 π}{6}

である。また

r_{2}^{2} = \frac{1}{r ^{2}} = \frac{4 ( 4 sin ^{2} θ _{2} - 1 )}{3}

である。したがって $r_{2}$ のとりうる値の範囲は

0 < r_{2} ≦ 2

であり， $r_{2} = 2$ は $θ_{2} = \frac{3 π}{2}$ のときに成り立つ。

解法2

(問1)

z = x + i y

とおく。条件は

x^{2} + (y + 1)^{2} - x^{2} + (y - 1)^{2} = 1.

右の平方根を移項して二乗すると

4 y - 1 = 2 x^{2} + (y - 1)^{2} .

右辺は非負なので $4 y - 1 ≧ 0$ である。さらに二乗して整理すると

- 4 x^{2} + 12 y^{2} = 3,

すなわち

\frac{y ^{2}}{1/4} - \frac{x ^{2}}{3/4} = 1.

元の符号条件を満たすのは上側の枝

y ≧ \frac{1}{2}

である。漸近線は

y = \frac{x}{3}, y = - \frac{x}{3} .

したがって原点から上側の枝へ向かう半直線の偏角は

\frac{π}{6} < θ_{1} < \frac{5 π}{6} .

(問2)

w = \frac{1}{z}

より

r_{2} = \frac{1}{∣ z ∣}, θ_{2} = 2 π - θ_{1} .

したがって

\frac{7 π}{6} < θ_{2} < \frac{11 π}{6} .

双曲線 $H$ 上で原点に最も近い点は頂点 $(0, 1/2)$ なので

∣ z ∣ ≧ \frac{1}{2} .

また漸近線方向へ進むと $∣ z ∣ \to \infty$ である。よって

0 < r_{2} ≦ 2.

上端 $2$ は $z = i /2$ のときにとり、下端 $0$ はとらない。

熊本大学 2018年度文理共通数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

解法2

(問1)

(問2)

熊本大学 2018年度
文理共通数学第3問（医学部医学科）