熊本大学 2018年度文理共通数学第1問（理工系）解答・解説

問題

$t$ を実数とする。空間の4点

A (1, 5, 0), B (4, 2, 0), C (t, 2 t, t - 1), D (1, 6, 1)

について、 $∠ B A C$ が直角であるとき、次の問いに答えよ。

(問1) $t$ の値を求めよ。

(問2) 点 $D$ から3点 $A, B, C$ を通る平面に垂線を下ろし、その交点を $H$ とする。 $H D$ を求めよ。

(問3) 四面体 $A B C D$ の体積を求めよ。

出典：熊本大学 2018年度前期文理共通第1問

方針

解法1

$∠ B A C = 9 0^{\circ}$ は $A B \cdot A C = 0$ で決める。 $t$ 決定後，平面 $A B C$ の方程式を求め，点 $D$ から平面への垂線ベクトルを法線方向の定数倍として求める。体積は底面積と高さから求める。

解法2

平面 $A B C$ の法線ベクトルを求め、点 $D$ を通る法線を媒介変数表示して垂線の足 $H$ を直接求める。高さと直角三角形 $A B C$ の面積から体積を出す。

解答

解法1

(問1)

A B = (3, - 3, 0), A C = (t - 1, 2 t - 5, t - 1)

である。 $∠ B A C$ が直角であるから

A B \cdot A C = 0

である。よって

3 (t - 1) - 3 (2 t - 5) = 0

より

t = 4

である。

(問2)

$t = 4$ のとき

C = (4, 8, 3)

である。平面 $A B C$ の法線ベクトルとして

n = (1, 1, - 2)

をとれる。したがって平面 $A B C$ の方程式は

x + y - 2 z - 6 = 0

である。点 $D (1, 6, 1)$ を代入すると

1 + 6 - 2 - 6 = - 1

である。 $∣ n ∣^{2} = 6$ より，垂線の足 $H$ について

H D = - \frac{1}{6} (1, 1, - 2) = (- \frac{1}{6}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{3})

である。

(問3)

$t = 4$ のとき

A C = (3, 3, 3)

であり，問1の条件より $A B ⊥ A C$ である。したがって底面 $△ A B C$ の面積は

\frac{1}{2} \cdot ∣ A B ∣ \cdot ∣ A C ∣ = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 33 = \frac{9 6}{2}

である。また点 $D$ から平面 $A B C$ までの距離は

\frac{∣1 + 6 - 2 - 6∣}{1 ^{2} + 1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{6}

である。よって四面体 $A B C D$ の体積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{9 6}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{2}

である。

解法2

(問1)

A B = (3, - 3, 0), A C = (t - 1, 2 t - 5, t - 1) .

直角条件から

A B \cdot A C = 3 (t - 1) - 3 (2 t - 5) = 0.

よって

t = 4.

(問2)

$t = 4$ のとき

C = (4, 8, 3) .

n = (1, 1, - 2)

は $A B$ と $A C$ の両方に垂直なので、平面 $A B C$ の方程式は

x + y - 2 z - 6 = 0.

点 $D$ を通る法線上の点を

D + λ n

と表す。この点が平面上にある条件は

- 1 + 6 λ = 0,

したがって

λ = \frac{1}{6} .

よって

H = D + \frac{1}{6} n = (\frac{7}{6}, \frac{37}{6}, \frac{2}{3}) .

したがって

H D = D - H = (- \frac{1}{6}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{3}) .

(問3)

∣ A B ∣ = 32, ∣ A C ∣ = 33

であり、両者は垂直である。したがって

[A B C] = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 33 = \frac{9 6}{2} .

また高さは

∣ H D ∣ = \frac{1}{6} .

よって体積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{9 6}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{2} .

熊本大学 2018年度文理共通数学 第1問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2018年度
文理共通数学第1問（理工系）