熊本大学 2018年度
文理共通数学 第4問（理工系2）
- 試験区分
- 前期
- 対象
- 教育，理，医（看護学専攻，放射線技術科，検査技術科学専攻），工，薬学部 理，医（放射線技術科，検査技術科学専攻），工，薬学部は【２】
- 分野
- 数列
- 解法
- 漸化式の変形、階差数列、和の計算
- 難易度
- 4 / 10 計算量 4 / 10 目安 12分
問題
初項が 1 である数列 {an} に対して
Sn=k=1∑nak
とおく。{Sn} が
Sn+1=2Sn+n2+2n(n≧1)
を満たすとき、次の問いに答えよ。
(問1) a2,a3 を求めよ。
(問2) n≧2 のとき、an+1 を an,n を用いて表せ。
(問3) n≧2 のとき、an を n の式で表せ。
出典：熊本大学 2018年度 前期 文理共通 第4問
方針
解法1
まず S1=1 から S2,S3 を求める。an+1=Sn+1−Sn と an=Sn−Sn−1 を使い，Sn を消去して an+1=2an+2n+1 を得る。最後は一次式の特解を引いて等比型にする。
解法2
まず Sn 自体の漸化式に2次式の特解を置き、Sn の一般項を直接求める。その差 Sn−Sn−1 から an を得る。
解答
解法1
(問1)
S1=a1=1 であるから
S2=2S1+12+2⋅1=5
である。したがって
a2=S2−S1=4
である。また
S3=2S2+22+2⋅2=18
より
a3=S3−S2=13
である。
(問2)
an+1=Sn+1−Sn=Sn+n2+2n
である。また n≧2 のとき
Sn=2Sn−1+(n−1)2+2(n−1)
であるから
an=Sn−Sn−1=Sn−1+(n−1)2+2(n−1)
である。よって
Sn=Sn−1+an=2an−n2+1
となる。したがって
an+1=2an+2n+1
である。
(問3)
(問2)より
an+1+2(n+1)+3=2(an+2n+3)
である。a2=4 だから
a2+2⋅2+3=11
であり，n≧2 に対して
an+2n+3=11⋅2n−2
である。よって
an=11⋅2n−2−2n−3(n≧2)
である。
解法2
(問1)
S1=1
より
S2=2S1+12+2=5,S3=2S2+22+4=18.
したがって
a2=S2−S1=4,a3=S3−S2=13.
(問2)
与式を n と n−1 について書き、辺々を引くと
Sn+1−Sn=2(Sn−Sn−1)+2n+1.
よって
an+1=2an+2n+1(n≧2).
(問3)
Sn の2次式の特解を
Sn(p)=An2+Bn+C
とおく。
Sn+1(p)−2Sn(p)=n2+2n
の係数を比較すると
A=−1,B=−4,C=−5.
したがって
Sn+n2+4n+5
は公比 2 の等比数列である。S1=1 より
S1+1+4+5=11
なので
Sn=11⋅2n−1−n2−4n−5.
ゆえに n≧2 で
an=Sn−Sn−1=11⋅2n−2−2n−3.
