熊本大学 2020年度文理共通数学第1問（文系学部）解答・解説

問題

$a$ を実数の定数とし、 $0 ≦ θ < 2 π$ に対して

y = (sin θ + a) (cos θ + a)

とする。次の問いに答えよ。

(1) $t = sin θ + cos θ$ とおくとき、 $y$ を $a, t$ を用いて表せ。

(2) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(3) $y$ の最大値と最小値を $a$ を用いて表せ。

出典：熊本大学 2020年度前期文理共通第1問

$t^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ を用いて $y$ を $t$ の二次関数に直す。 $t \in [- 2, 2]$ 上で、最大値は両端を比較し、最小値は軸 $t = - a$ が区間内にあるかで場合分けする。

平方完成後の $(t + a)^{2}$ を、点 $- a$ と区間 $[- 2, 2]$ 上の点 $t$ の距離の二乗と見る。距離の最大・最小を求めれば、煩雑な符号別計算を避けられる。

t^{2} = (sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ

だから、

y = sin θ cos θ + a (sin θ + cos θ) + a^{2} = \frac{1}{2} t^{2} + a t + a^{2} - \frac{1}{2} .

t = 2 sin (θ + \frac{π}{4})

である。 $0 ≦ θ < 2 π$ の間に正弦は $- 1$ から $1$ までのすべての値を取るので、

- 2 ≦ t ≦ 2 .

y = \frac{1}{2} (t + a)^{2} + \frac{a ^{2} - 1}{2}

は下に凸で、軸は $t = - a$ である。最大値は軸から遠い方の端点で取り、

y_{m a x} = a^{2} + \frac{1}{2} + 2 ∣ a ∣ .

最小値は、 $- a$ が区間 $[- 2, 2]$ に入るかどうかで決まる。したがって

y_{m i n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a ^{2} - 1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} - 2 ∣ a ∣ (∣ a ∣ ≦ 2), (∣ a ∣ ≧ 2)

となる。境界 $∣ a ∣ = 2$ では両式が一致する。

$t^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ より

y = \frac{1}{2} t^{2} + a t + a^{2} - \frac{1}{2} .

$t = 2 sin (θ + π /4)$ だから

- 2 ≦ t ≦ 2 .

$∣ t + a ∣$ は、数直線上の点 $- a$ と区間内の点 $t$ の距離である。最も遠い端点までの距離は

∣ a ∣ + 2

だから、

y_{m a x} = \frac{1}{2} (∣ a ∣ + 2)^{2} + \frac{a ^{2} - 1}{2} = a^{2} + \frac{1}{2} + 2 ∣ a ∣ .

一方、点 $- a$ と区間との最短距離は

dist (- a, [- 2, 2]) = {0 ∣ a ∣ - 2 (∣ a ∣ ≦ 2), (∣ a ∣ ≧ 2)

である。これを平方完成した式へ代入すると、

y_{m i n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a ^{2} - 1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} - 2 ∣ a ∣ (∣ a ∣ ≦ 2), (∣ a ∣ ≧ 2)

を得る。