熊本大学 2020年度文理共通数学第4問（医学部医学科）解答・解説

問題

$x y$ 平面において、 $x, y$ がともに整数である点 $(x, y)$ を格子点という。2以上の整数 $n$ に対し、

0 < x < n, 1 < 2^{y} < (1 + \frac{x}{n})^{n}

を満たす格子点 $(x, y)$ の個数を $P (n)$ とする。次の問いに答えよ。

(1)

k = 1 \sum n - 1 {n lo g_{2} (1 + \frac{k}{n}) - 1} ≦ P (n) < k = 1 \sum n - 1 n lo g_{2} (1 + \frac{k}{n})

を示せ。

(2) 極限値 $n \to \infty lim P (n) / n^{2}$ を求めよ。

(3) (2) の極限値を $L$ とする。次の不等式を示せ。

L - \frac{P ( n )}{n ^{2}} > \frac{1}{2 n} .

出典：熊本大学 2020年度前期文理共通第4問

方針

解法1（格子点数をリーマン和ではさむ）

整数 $x = k$ ごとに許される正整数 $y$ の個数を評価して(1)を得る。(2) は評価を $n^{2}$ で割ってリーマン和へ移し、(3) は $f (x) = lo g_{2} (1 + x)$ の狭義凹性による台形公式の向きを使う。

解法2（天井関数で正確に数え、弦の積分を足す）

各縦列の格子点数を $⌈ M_{k} ⌉ - 1$ と正確に表し、そこから(1)を導く。(3) は凹関数の定義に基づく弦の不等式を各小区間で積分し、端点補正 $1/ (2 n)$ を直接取り出す。

解答

解法1（格子点数をリーマン和ではさむ）

(1)

$x = k$ （ $1 ≦ k ≦ n - 1$ ）と固定する。与えられた不等式は

0 < y < n lo g_{2} (1 + \frac{k}{n})

と同値である。正の実数 $M$ に対し、 $0 < y < M$ を満たす整数 $y$ の個数を $N (M)$ とすれば

M - 1 ≦ N (M) < M .

ここで

M_{k} = n lo g_{2} (1 + \frac{k}{n})

と置き、 $k = 1, 2, \dots, n - 1$ について足し合わせると

k = 1 \sum n - 1 (M_{k} - 1) ≦ P (n) < k = 1 \sum n - 1 M_{k},

すなわち所要の不等式を得る。

(2)

(1) を $n^{2}$ で割る。上下の評価の差は

\frac{n - 1}{n ^{2}} ⟶ 0.

また

\frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n - 1 M_{k} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n - 1 lo g_{2} (1 + \frac{k}{n})

は $f (x) = lo g_{2} (1 + x)$ の $[0, 1]$ におけるリーマン和である。したがって

L = \int_{0}^{1} lo g_{2} (1 + x) d x = \frac{1}{lo g 2} \int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x = \frac{1}{lo g 2} [(1 + x) lo g (1 + x) - (1 + x)]_{0}^{1} = 2 - \frac{1}{lo g 2} .

ここで $lo g$ は自然対数である。

(3)

f^{''} (x) = - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2} lo g 2} < 0

だから、 $f$ は $[0, 1]$ で狭義凹である。したがって各小区間でグラフは両端を結ぶ弦より上にある。

小区間ごとの台形の面積を足すと

L = \int_{0}^{1} f (x) d x > \frac{1}{n} {\frac{1}{2} f (0) + k = 1 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) + \frac{1}{2} f (1)} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) + \frac{1}{2 n},

ただし $f (0) = 0, f (1) = 1$ を使った。一方、(1) の上側評価から

\frac{P ( n )}{n ^{2}} < \frac{1}{n} k = 1 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) .

2式を合わせて

L - \frac{P ( n )}{n ^{2}} > \frac{1}{2 n}

を得る。

解法2（天井関数で正確に数え、弦の積分を足す）

(1)

$M_{k} = n lo g_{2} (1 + k / n)$ と置く。 $0 < y < M_{k}$ を満たす正整数の個数は

N_{k} = ⌈ M_{k} ⌉ - 1

である。任意の実数 $M_{k}$ に対し

M_{k} - 1 ≦ ⌈ M_{k} ⌉ - 1 < M_{k}

だから、 $P (n) = \sum_{k = 1}^{n - 1} N_{k}$ に代入して(1)を得る。

(2)

(1) の両端を $n^{2}$ で割ると、誤差は高々 $(n - 1) / n^{2}$ で0へ収束する。よって

n \to \infty lim \frac{P ( n )}{n ^{2}} = \int_{0}^{1} lo g_{2} (1 + x) d x = 2 - \frac{1}{lo g 2} .

(3)

$f (x) = lo g_{2} (1 + x)$ は狭義凹である。 $a = k / n, b = (k + 1) / n$ とし、 $0 < λ < 1$ に対して

f ((1 - λ) a + λb) > (1 - λ) f (a) + λ f (b) .

この不等式を $x = (1 - λ) a + λb$ として小区間上で積分すると

\int_{k / n}^{(k + 1) / n} f (x) d x > \frac{1}{2 n} {f (\frac{k}{n}) + f (\frac{k + 1}{n})} .

$k = 0, 1, \dots, n - 1$ について足せば

L > \frac{1}{n} k = 1 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) + \frac{f ( 0 ) + f ( 1 )}{2 n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) + \frac{1}{2 n} .

さらに(1)より $P (n) / n^{2}$ はこの和より真に小さいので、所要の

L - \frac{P ( n )}{n ^{2}} > \frac{1}{2 n}

が従う。

熊本大学 2020年度文理共通数学 第4問（医学部医学科）

問題

方針

解法1（格子点数をリーマン和ではさむ）

解法2（天井関数で正確に数え、弦の積分を足す）

解答

解法1（格子点数をリーマン和ではさむ）

(1)

(2)

(3)

解法2（天井関数で正確に数え、弦の積分を足す）

(1)

(2)

(3)

熊本大学 2020年度
文理共通数学第4問（医学部医学科）