熊本大学 2020年度文理共通数学第2問（医学部医学科）解答・解説

問題

複素数 $α, β$ に対し、複素数平面上の点

O (0), A (α), B (β), C (∣ α ∣^{2}), D (\overline{α} β)

を考える。3点 $O, A, B$ は三角形をなすとする。また、複素数 $z$ の虚部を $Im (z)$ と表す。次の問いに答えよ。

(1) $△ O A B$ の面積を $S_{1}$ 、 $△ O C D$ の面積を $S_{2}$ とするとき、 $S_{2} / S_{1}$ を求めよ。

(2) $S_{1} = \frac{1}{2} ∣ Im (\overline{α} β) ∣$ であることを示せ。

(3) 実数 $a, b$ に対して $z = a + bi$ とする。 $1 ≦ a ≦ 2, 1 ≦ b ≦ 3$ のとき、3点 $O (0), P (z), Q (1/ z)$ を頂点とする三角形の面積の最大値と最小値を求めよ。

出典：熊本大学 2020年度前期文理共通第2問

方針

解法1（複素数の乗法を相似変換として見る）

(1) は全点へ $\overline{α}$ を掛ける相似変換を考える。(2) は $α = p + q i, β = r + s i$ と座標化する。(3) は面積を $ab / (a^{2} + b^{2})$ に直し、比 $b / a$ の1変数関数にする。

解法2（行列式で面積を直接計算する）

複素数を平面ベクトルとみなし、2本のベクトルの行列式で面積を表す。(1) は乗法写像の行列式、(2)(3) は座標をそのまま代入して処理する。

解答

解法1（複素数の乗法を相似変換として見る）

(1)

複素数平面で全点に $\overline{α}$ を掛けると、

0 ⟼ 0, α ⟼ ∣ α ∣^{2}, β ⟼ \overline{α} β .

したがって $△ O A B$ は $△ O C D$ に移る。この変換は長さを $∣ α ∣$ 倍するので、面積を $∣ α ∣^{2}$ 倍する。よって

\frac{S _{2}}{S _{1}} = ∣ α ∣^{2} .

(2)

$α = p + q i, β = r + s i$ とおく。座標平面の三角形の面積公式から

S_{1} = \frac{1}{2} ∣ p s - q r ∣.

一方、

\overline{α} β = (p - q i) (r + s i) = p r + q s + (p s - q r) i

だから

S_{1} = \frac{1}{2} ∣ Im (\overline{α} β) ∣ .

(3)

(2) を $α = z, β = 1/ z$ に用いると、面積 $S$ は

S = \frac{1}{2} Im (\frac{z}{z}) .

$z = a + bi$ より

\frac{z}{z} = \frac{( a - bi ) ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}}

なので

S = \frac{ab}{a ^{2} + b ^{2}} .

$r = b / a$ とおけば $1/2 ≦ r ≦ 3$ で、

S = \frac{r}{1 + r ^{2}}, S^{'} (r) = \frac{1 - r ^{2}}{( 1 + r ^{2} ) ^{2}} .

したがって $r = 1$ で最大となる。また両端を比較すると

S (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}, S (3) = \frac{3}{10} .

よって

max S = \frac{1}{2}, min S = \frac{3}{10} .

最大値は例えば $a = b = 1$ 、最小値は $(a, b) = (1, 3)$ で実現する。

解法2（行列式で面積を直接計算する）

(1)

$\overline{α} = u + v i$ とすると、写像 $w \mapsto \overline{α} w$ の実行列は

(u v - v u)

であり、その行列式は

u^{2} + v^{2} = ∣ α ∣^{2} .

面積は行列式の絶対値倍になるので $S_{2} / S_{1} = ∣ α ∣^{2}$ である。

(2)

$α = p + q i, β = r + s i$ に対応するベクトルは $(p, q), (r, s)$ である。よって

S_{1} = \frac{1}{2} det (p q r s) = \frac{1}{2} ∣ p s - q r ∣.

また $p s - q r = Im (\overline{α} β)$ だから、所要の式を得る。

(3)

P = (a, b), Q = (\frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, - \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}) .

したがって

S = \frac{1}{2} a (- \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}) - b (\frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}) = \frac{ab}{a ^{2} + b ^{2}} .

ここで相加相乗平均から

a^{2} + b^{2} ≧ 2 ab

なので $S ≦ 1/2$ であり、 $a = b$ のとき等号が成立する。一方 $r = b / a \in [1/2, 3]$ とすると $S = r / (1 + r^{2})$ で、 $r = 1$ から離れるほど小さくなる。端点比較により最小値は $r = 3$ のときの $3/10$ である。

熊本大学 2020年度文理共通数学 第2問（医学部医学科）

問題

方針

解法1（複素数の乗法を相似変換として見る）

解法2（行列式で面積を直接計算する）

解答

解法1（複素数の乗法を相似変換として見る）

(1)

(2)

(3)

解法2（行列式で面積を直接計算する）

(1)

(2)

(3)

熊本大学 2020年度
文理共通数学第2問（医学部医学科）