熊本大学 2020年度文理共通数学第2問（文系学部）解答・解説

問題

実数 $a, c$ と整数 $b$ が $a < b < c$ を満たすとし、

g (x) = (x - a) (x - b) (x - c), f (x) = g (x) - g^{'} (x)

と定める。次の問いに答えよ。

(1) $f (a) < 0, f (b) > 0, f (c) < 0$ であることを示せ。

(2) $f (x) = (x + 1) (x^{2} - 4 x + 2)$ のとき、 $a, b, c$ を求めよ。

(3) (2) の $a, b, c$ から定まる2曲線 $y = g (x)$ と $y = f (x)$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

出典：熊本大学 2020年度前期文理共通第2問

方針

解法1（根での微分と係数比較を用いる）

根 $a, b, c$ では $f = - g^{'}$ となるので、積の形から $g^{'}$ の符号を読む。(2) では基本対称式を置いて係数比較し、(3) では $f - g = - g^{'}$ をそのまま面積差に用いる。

解法2（未知の三次式を直接復元する）

$g (x) = x^{3} + p x^{2} + q x + r$ と置き、恒等式 $g - g^{'} = f$ を一次方程式として解く。面積は2曲線の差が偶関数になることを利用して半区間だけ積分する。

解答

解法1（根での微分と係数比較を用いる）

(1)

$g (a) = g (b) = g (c) = 0$ だから、各根では $f = - g^{'}$ である。また

g^{'} (a) g^{'} (b) g^{'} (c) = (a - b) (a - c) > 0, = (b - a) (b - c) < 0, = (c - a) (c - b) > 0.

よって

f (a) < 0, f (b) > 0, f (c) < 0.

(2)

g (x) = x^{3} - s_{1} x^{2} + s_{2} x - s_{3}

とおく。ただし $s_{1} = a + b + c, s_{2} = ab + b c + c a, s_{3} = ab c$ である。微分して差を取ると

f (x) = x^{3} + (- s_{1} - 3) x^{2} + (s_{2} + 2 s_{1}) x - (s_{3} + s_{2}) .

一方、

(x + 1) (x^{2} - 4 x + 2) = x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 2.

係数比較により

s_{1} = 0, s_{2} = - 2, s_{3} = 0.

したがって

g (x) = x^{3} - 2 x = x (x - 2) (x + 2) .

$a < b < c$ で、中央の根 $b$ は整数だから

a = - 2, b = 0, c = 2 .

(3)

f (x) - g (x) = - g^{'} (x) = 2 - 3 x^{2} .

2曲線の交点の $x$ 座標は

2 - 3 x^{2} = 0, x = \pm \frac{2}{3} .

この区間では $f (x) ≧ g (x)$ である。

よって求める面積は

S = \int_{- 2/3}^{2/3} (2 - 3 x^{2}) d x = 2 \int_{0}^{2/3} (2 - 3 x^{2}) d x = \frac{8 6}{9} .

解法2（未知の三次式を直接復元する）

(1)

三次関数 $g$ は、単根 $a, b, c$ を左から順に横切る。したがって各根での傾きの符号は

g^{'} (a) > 0, g^{'} (b) < 0, g^{'} (c) > 0.

根では $f = - g^{'}$ だから、求める3つの不等式が従う。

(2)

g (x) = x^{3} + p x^{2} + q x + r

と置くと、

g (x) - g^{'} (x) = x^{3} + (p - 3) x^{2} + (q - 2 p) x + (r - q) .

これを $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 2$ と比較して

p = 0, q = - 2, r = 0.

よって $g (x) = x^{3} - 2 x$ であり、根の大小順から

(a, b, c) = (- 2, 0, 2) .

(3)

差は

f (x) - g (x) = 2 - 3 x^{2}

という偶関数である。正の交点を $α = 2/3$ とすると、対称性から

S = 2 \int_{0}^{α} (2 - 3 x^{2}) d x = 2 [2 x - x^{3}]_{0}^{α} .

ここで $3 α^{2} = 2$ なので $α^{3} = 2 α /3$ 。したがって

S = 2 (2 α - \frac{2 α}{3}) = \frac{8}{3} \frac{2}{3} = \frac{8 6}{9} .

熊本大学 2020年度文理共通数学 第2問（文系学部）

問題

方針

解法1（根での微分と係数比較を用いる）

解法2（未知の三次式を直接復元する）

解答

解法1（根での微分と係数比較を用いる）

(1)

(2)

(3)

解法2（未知の三次式を直接復元する）

(1)

(2)

(3)

熊本大学 2020年度
文理共通数学第2問（文系学部）