熊本大学 2020年度文理共通数学第1問（医学部医学科）解答・解説

問題

$x y$ 平面上の曲線 $C$ を、媒介変数 $t$ により

x = sin t, y = 1 - cos 3 t, 0 ≦ t ≦ \frac{2 π}{3}

と定める。次の問いに答えよ。

(1) $C$ 上で $x$ 座標が最大となる点を $P$ 、 $y$ 座標が最大となる点を $Q$ とする。 $P, Q$ の座標を求めよ。

(2) $C$ 上の点 $(1/2, 1)$ における接線の方程式を求めよ。

(3) $C$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。

出典：熊本大学 2020年度前期文理共通第1問

方針

解法1（媒介変数のまま微分・積分する）

$x (t), y (t)$ をそれぞれ微分して最大点を求め、接線の傾きは $(d y / d t) / (d x / d t)$ で出す。面積は曲線の進行方向に注意しながら

\int y d x

を媒介変数で計算する。

解法2（増加枝と減少枝に分けて面積を確認する）

(1)(2) は増減表と媒介変数の微分で処理する。(3) は $t = π /2$ で曲線を2枝に分け、『上側の面積−折り返し部分』として積分を組み立て、符号を幾何的に確認する。

解答

解法1（媒介変数のまま微分・積分する）

(1)

\frac{d x}{d t} = cos t .

区間 $0 ≦ t ≦ 2 π /3$ では $t = π /2$ のとき $x = sin t$ が最大となる。このとき $y = 1 - cos (3 π /2) = 1$ だから

P = (1, 1) .

また

\frac{d y}{d t} = 3 sin 3 t

で、 $y = 1 - cos 3 t$ は $3 t = π$ 、すなわち $t = π /3$ で最大値2を取る。よって

Q = (\frac{3}{2}, 2) .

(2)

$sin t = 1/2$ かつ指定区間内で $y = 1$ となるのは $t = π /6$ である。このとき

\frac{d y}{d x} = \frac{3 sin 3 t}{cos t} = \frac{3}{3 /2} = 23 .

したがって接線は

y - 1 = 23 (x - \frac{1}{2}) .

(3)

$0 ≦ t ≦ π /2$ では $x$ は増加し、 $π /2 ≦ t ≦ 2 π /3$ では減少する。曲線と $x$ 軸が囲む面積は、曲線の向きを含めた積分として

S = \int_{0}^{2 π /3} (1 - cos 3 t) cos t d t

で与えられる。積和公式

cos 3 t cos t = \frac{1}{2} (cos 2 t + cos 4 t)

を使うと

S = [sin t - \frac{1}{4} sin 2 t - \frac{1}{8} sin 4 t]_{0}^{2 π /3} = \frac{9 3}{16} .

解法2（増加枝と減少枝に分けて面積を確認する）

(1)

$x^{'} (t) = cos t$ の符号は $t = π /2$ で正から負へ変わるので、 $P = (1, 1)$ である。 $y^{'} (t) = 3 sin 3 t$ は $t = π /3$ で正から負へ変わるので、 $Q = (3 /2, 2)$ である。

(2)

指定点に対応する $t$ は $π /6$ であり、

\frac{d y / d t}{d x / d t}_{t = π /6} = 23 .

よって

y = 23 x - 3 + 1.

(3)

$0 ≦ t ≦ π /2$ の枝は $x = 0$ から $x = 1$ へ進む。折り返す枝は $t = 2 π /3$ から $t = π /2$ へ逆向きにたどると、 $x = 3 /2$ から $x = 1$ へ進む。したがって面積は

S = \int_{0}^{π /2} (1 - cos 3 t) cos t d t - \int_{2 π /3}^{π /2} (1 - cos 3 t) cos t d t = \int_{0}^{2 π /3} (1 - cos 3 t) cos t d t .

この表示により、 $t > π /2$ で $d x / d t < 0$ となる折り返し部分も正しい向きで差し引かれている。積和公式で積分すれば

S = [sin t - \frac{1}{4} sin 2 t - \frac{1}{8} sin 4 t]_{0}^{2 π /3} = \frac{9 3}{16} .

熊本大学 2020年度文理共通数学 第1問（医学部医学科）

問題

方針

解法1（媒介変数のまま微分・積分する）

解法2（増加枝と減少枝に分けて面積を確認する）

解答

解法1（媒介変数のまま微分・積分する）

(1)

(2)

(3)

解法2（増加枝と減少枝に分けて面積を確認する）

(1)

(2)

(3)

熊本大学 2020年度
文理共通数学第1問（医学部医学科）