熊本大学 2020年度文理共通数学第3問（文系学部）解答・解説

問題

$x y$ 平面において、 $x, y$ がともに整数である点 $(x, y)$ を格子点という。自然数 $n$ に対し、3直線

y = \frac{2}{3} x + \frac{n}{3}, y = x - n, x = n

で囲まれる図形を $D_{n}$ とする。 $D_{n}$ の周上および内部にある格子点の個数を $L_{n}$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $L_{3}$ を求めよ。

(2) $k$ を0以上の整数とする。直線 $ℓ : x = n + 3 k$ が $D_{n}$ と交わるとき、 $D_{n}$ の周上および内部にある $ℓ$ 上の格子点の個数を $n, k$ で表せ。

(3) $L_{n}$ を $n$ で表せ。

出典：熊本大学 2020年度前期文理共通第3問

方針

解法1（縦列を3本ずつまとめて数える）

三角形の頂点を求め、 $x = n + j$ の縦列で下端と上端を比較する。 $j$ を3で割った余りが0、1、2の場合に分けると、床関数を使わずに各列の格子点数を数えられる。

解法2（床関数の和として整理する）

各整数 $x = n + j$ に対する格子点数を、上端の床関数を使って1本の式にする。 $j = 3 k, 3 k + 1, 3 k + 2$ の3項を一組にして床関数の和を計算する。

解答

解法1（縦列を3本ずつまとめて数える）

3直線の交点を求めると、 $D_{n}$ は

(n, 0), (n, n), (4 n, 3 n)

を頂点とする三角形である。

(1)

(3) の一般式を先に得れば直ちに計算できるが、 $n = 3$ を直接数えてもよい。(3) の結果から

L_{3} = \frac{( 3 + 1 ) ( 3 \cdot 3 + 2 )}{2} = 22 .

(2)

$x = n + 3 k$ 上で、下側の直線 $y = x - n$ は

y = 3 k,

上側の直線 $y = \frac{2}{3} x + \frac{n}{3}$ は

y = n + 2 k

となる。交わる範囲は $0 ≦ k ≦ n$ であり、両端を含む整数 $y$ の個数は

(n + 2 k) - 3 k + 1 = n - k + 1 .

(3)

$x = n + j$ と置くと $0 ≦ j ≦ 3 n$ である。下端は $y = j$ 、上端は $y = n + 2 j /3$ である。

$j = 3 k$ の列は (2) より $n - k + 1$ 個である。さらに

j 3 k + 1 3 k + 2 上端以下の最大整数 n + 2 k n + 2 k + 1 格子点数 n - k n - k

となる。したがって

L_{n} = k = 0 \sum n (n - k + 1) + 2 k = 0 \sum n - 1 (n - k) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} + n (n + 1) = \frac{( n + 1 ) ( 3 n + 2 )}{2} .

解法2（床関数の和として整理する）

(1)

$n = 3$ のとき $j = 0, 1, \dots, 9$ であり、各縦列の格子点数は

4, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1

となる。よって

L_{3} = 4 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 22 .

(2)

$j = 3 k$ を代入すると、格子点の $y$ 座標は

3 k ≦ y ≦ n + 2 k .

したがって個数は $n - k + 1$ である。

(3)

一般の $j$ に対する個数を $N_{j}$ とすると、

N_{j} = ⌊ n + \frac{2 j}{3} ⌋ - j + 1 = n + 1 - j + ⌊ \frac{2 j}{3} ⌋ .

ここで $0 ≦ k ≦ n - 1$ に対し、

N_{3 k} N_{3 k + 1} N_{3 k + 2} = n - k + 1, = n - k, = n - k .

最後の列 $j = 3 n$ には1点あるので、

L_{n} = k = 0 \sum n - 1 {(n - k + 1) + (n - k) + (n - k)} + 1 = r = 1 \sum n (3 r + 1) + 1 = \frac{3 n ( n + 1 )}{2} + n + 1 = \frac{( n + 1 ) ( 3 n + 2 )}{2} .

この式へ $n = 3$ を代入しても22となり、(1) と一致する。

熊本大学 2020年度文理共通数学 第3問（文系学部）

問題

方針

解法1（縦列を3本ずつまとめて数える）

解法2（床関数の和として整理する）

解答

解法1（縦列を3本ずつまとめて数える）

(1)

(2)

(3)

解法2（床関数の和として整理する）

(1)

(2)

(3)

熊本大学 2020年度
文理共通数学第3問（文系学部）