熊本大学 2020年度文理共通数学第4問（理工系）解答・解説

問題

正の実数 $t$ に対し、座標平面上の2点

F (t, 0), F^{'} (3 t, 0)

からの距離の和が $22 t$ である点 $P$ の軌跡を $C$ とする。また、直線 $y = x - 1$ を $ℓ$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $C$ と $ℓ$ が相異なる2つの共有点をもつような $t$ の範囲を求めよ。

(2) $t$ が (1) の範囲を動くとき、 $C$ と $ℓ$ の2共有点および原点 $O$ を頂点とする三角形の面積の最大値を求めよ。

出典：熊本大学 2020年度前期文理共通第4問

方針

解法1（楕円へ直線を代入し判別式を見る）

焦点の中点と距離和から楕円の中心・長半径・短半径を求める。直線を代入して得る二次方程式の判別式で(1)を処理し、(2)では2解の差を三角形の面積に結び付ける。

解法2（楕円を単位円へ変換する）

$X = (x - 2 t) / (2 t), Y = y / t$ により楕円を単位円へ移す。直線と円が2点で交わる条件を、円の中心から直線までの距離で求める。面積は元の座標で2解の差を使う。

解答

解法1（楕円へ直線を代入し判別式を見る）

焦点の中点は $(2 t, 0)$ 、焦点間距離の半分は $t$ である。長半径は $2 t$ だから、短半径は

(2 t)^{2} - t^{2} = t .

したがって楕円 $C$ は

\frac{( x - 2 t ) ^{2}}{2 t ^{2}} + \frac{y ^{2}}{t ^{2}} = 1 .

(1)

$y = x - 1$ を楕円へ代入し、分母を払うと

3 x^{2} - (4 t + 4) x + 2 t^{2} + 2 = 0.

相異なる2共有点をもつ条件は判別式が正であることだから、

Δ = (4 t + 4)^{2} - 12 (2 t^{2} + 2) = 8 (- t^{2} + 4 t - 1) > 0.

よって

2 - 3 < t < 2 + 3 .

(2)

2共有点を

P_{1} = (x_{1}, x_{1} - 1), P_{2} = (x_{2}, x_{2} - 1)

とする。原点と作る三角形の面積 $S$ は

S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} (x_{2} - 1) - x_{2} (x_{1} - 1) ∣ = \frac{1}{2} ∣ x_{2} - x_{1} ∣.

二次方程式の2解の差から

∣ x_{2} - x_{1} ∣ = \frac{Δ}{3} = \frac{2 2}{3} - t^{2} + 4 t - 1 .

したがって

S (t) = \frac{2}{3} - t^{2} + 4 t - 1 = \frac{2}{3} 3 - (t - 2)^{2} .

これは $t = 2$ で最大となり、

max S = \frac{6}{3} .

解法2（楕円を単位円へ変換する）

(1)

座標変換

X = \frac{x - 2 t}{2 t}, Y = \frac{y}{t}

により、楕円は単位円

X^{2} + Y^{2} = 1

となる。直線 $y = x - 1$ は

Y = 2 X + 2 - \frac{1}{t}

すなわち

2 X - Y + 2 - \frac{1}{t} = 0

となる。単位円と相異なる2点で交わる条件は、原点からこの直線までの距離が1未満であることだから、

\frac{∣2 - 1/ t ∣}{3} < 1.

$t > 0$ に注意して整理すると

2 - 3 < \frac{1}{t} < 2 + 3 .

両端の逆数が互いに入れ替わり、

2 - 3 < t < 2 + 3

を得る。

(2)

元の座標で共有点の $x$ 座標は

3 x^{2} - (4 t + 4) x + 2 t^{2} + 2 = 0

の2解である。判別式は $8 (- t^{2} + 4 t - 1)$ だから、解の差と原点を含む三角形の面積は

S (t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8 ( - t ^{2} + 4 t - 1 )}{3} = \frac{2}{3} 3 - (t - 2)^{2} .

よって $t = 2$ のとき

max S = \frac{6}{3} .

熊本大学 2020年度文理共通数学 第4問（理工系）

問題

方針

解法1（楕円へ直線を代入し判別式を見る）

解法2（楕円を単位円へ変換する）

解答

解法1（楕円へ直線を代入し判別式を見る）

(1)

(2)

解法2（楕円を単位円へ変換する）

(1)

(2)

熊本大学 2020年度
文理共通数学第4問（理工系）