熊本大学 2020年度文理共通数学第4問（文系学部）解答・解説

問題

実数 $k, s, t$ に対し、座標空間に

O (0, 0, 0), A (1, - 1, 1), B (0, 1, 1), C (- 1, 0, k)

を取る。点 $D, E, P$ を

O D = (1 - s) O A, O E = t O B + (1 - t) O C, O P = D E

によって定める。次の問いに答えよ。

(1) 点 $P$ の座標を $k, s, t$ で表せ。

(2) $0 ≦ s ≦ 1, 0 ≦ t ≦ 1$ のもとで点 $P$ が動いてできる平行四辺形を $P (k)$ 、その面積を $S (k)$ とする。実数 $k$ に対する $S (k)$ の最小値と、そのときの $k$ を求めよ。

(3) (2) で求めた $k$ に対し、 $P (k)$ を底面、 $O$ を頂点とする四角錐の体積を求めよ。

出典：熊本大学 2020年度前期文理共通第4問

方針

解法1（内積の面積公式と平面方程式を用いる）

$P = E - D$ を成分で計算する。 $s, t$ の係数ベクトルを平行四辺形の2辺と見て、内積による面積公式を用いる。最小時の底面の平面方程式を作り、原点からの高さを求める。

解法2（射影で面積を求める）

射影で一方の辺に垂直な成分を求めて面積を計算し、底面の2方向に垂直なベクトルから高さを求める。

解答

解法1（内積の面積公式と平面方程式を用いる）

(1)

D = (1 - s, - 1 + s, 1 - s), E = (t - 1, t, k + (1 - k) t)

である。 $O P = D E = E - D$ より

P = (s + t - 2, - s + t + 1, s + (1 - k) t + k - 1) .

(2)

$s, t$ の係数ベクトルを

u = (1, - 1, 1), v = (1, 1, 1 - k)

とおく。 $0 ≦ s, t ≦ 1$ だから、この2ベクトルが平行四辺形の隣り合う辺である。内積を計算すると

∣ u ∣^{2} = 3, ∣ v ∣^{2} = k^{2} - 2 k + 3, u \cdot v = 1 - k .

よって平行四辺形の面積について

S (k)^{2} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} - (u \cdot v)^{2} = 3 (k^{2} - 2 k + 3) - (1 - k)^{2} = 2 (k - 1)^{2} + 6.

したがって

k = 1 のとき S (k) は最小, min S (k) = 6 .

(3)

$k = 1$ のとき、底面の2方向は

u = (1, - 1, 1), v = (1, 1, 0)

である。法線ベクトルを $(a, b, c)$ とすると

a - b + c = 0, a + b = 0

を満たせばよいので、 $(1, - 1, - 2)$ を取れる。 $s = t = 0$ に対応する底面上の点は $(- 2, 1, 0)$ だから、底面の平面は

x - y - 2 z = - 3

である。原点からこの平面へ下ろした垂線の足は

H = (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1), O H = \frac{3}{6} = \frac{6}{2} .

よって四角錐の体積は

\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{6}{2} = 1.

解法2（射影で面積を求める）

(1)

点 $P$ は

P = (- 2, 1, k - 1) + s (1, - 1, 1) + t (1, 1, 1 - k) = (s + t - 2, - s + t + 1, s + (1 - k) t + k - 1) .

(2)

$u = (1, - 1, 1), v = (1, 1, 1 - k)$ とおく。 $v$ の $u$ に垂直な成分を高さと見れば

S (k)^{2} = ∣ u ∣^{2} {∣ v ∣^{2} - \frac{( u \cdot v ) ^{2}}{∣ u ∣ ^{2}}} = 3 (k^{2} - 2 k + 3) - (1 - k)^{2} = 2 (k - 1)^{2} + 6.

ゆえに $k = 1$ で最小値 $6$ を取る。

(3)

$k = 1$ のとき、底面の2辺に垂直な $(a, b, c)$ は

a - b + c = 0, a + b = 0

を満たすので、法線ベクトルを $(1, - 1, - 2)$ と取れる。底面は $(- 2, 1, 0)$ を通るから、その平面と原点からの高さは

x - y - 2 z = - 3, h = \frac{3}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{6}{2} .

したがって体積は

\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{6}{2} = 1.

熊本大学 2020年度文理共通数学 第4問（文系学部）

問題

方針

解法1（内積の面積公式と平面方程式を用いる）

解法2（射影で面積を求める）

解答

解法1（内積の面積公式と平面方程式を用いる）

(1)

(2)

(3)

解法2（射影で面積を求める）

(1)

(2)

(3)

熊本大学 2020年度
文理共通数学第4問（文系学部）