熊本大学 2020年度
文理共通数学 第1問（理工系）

解答

解法1（平方剰余から無限降下する）

(1)

任意の整数 $x$ は5を法として $0,\pm 1,\pm 2$ のいずれかに合同である。したがって

のいずれかである。

(2)

与式を5を法として見ると

平方剰余 $0,1,4$ を2倍した余りは $0,2,3$ であり、両者の共通部分は0だけである。よって

$x=5x_1,z=5z_1$ と書いて元の式へ代入し、5で割ると

したがって $y^2\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ であり、$5\mid y$ である。ゆえに $x,y,z$ はすべて5の倍数である。

(3)

自然数解が存在すると仮定する。(2) より

と書ける。元の式へ代入して25で割れば

となる。つまり $(x_1,y_1,z_1)$ も自然数解であり、各成分は元の解の5分の1である。同じ操作を繰り返すと、正の自然数を何度でも5で割れることになり不可能である。したがって

解法2（最小解を仮定して矛盾を導く）

(1)

剰余を直接表にすると

だから、平方の余りは $0,1,4$ に限られる。

(2)

$x^2\equiv 2z^2(\mathrm{mod}5)$ に対し、$z^2\equiv 1,4$ なら右辺はそれぞれ2,3となり、平方剰余にはならない。よって $z^2\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ で、同時に $x^2\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ である。したがって $5\mid x,z$。

$x=5x_1,z=5z_1$ とすれば

となるので $5\mid y^2$、したがって $5\mid y$ である。

(3)

自然数解のうち $x+y+z$ が最小のものを1組取る。(2) により

と書ける。両辺を25で割ると $(x_1,y_1,z_1)$ も同じ方程式の自然数解である。しかし

となり、選び方の最小性に反する。よって自然数解は存在しない。