熊本大学 2020年度文理共通数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 自然数 $x$ に対し、 $x^{2}$ を5で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかであることを示せ。

(2) $x^{2} + 5 y^{2} = 2 z^{2}$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組は存在しないことを示せ。

出典：熊本大学 2020年度前期文理共通第3問

(1) で平方剰余を確定する。(2) では方程式を5で見て $x, z$ 、続いて $y$ も5の倍数になることを示し、同じ議論を無限に反復できる矛盾を導く。

平方剰余の結論を使い、自然数解があれば3成分がすべて5の倍数になることを示す。 $z$ が最小の解を選ぶと、5で割った新しい解の第3成分がさらに小さくなり矛盾する。

$x$ を5で割った余りを $0, 1, 2, 3, 4$ とすると、その平方の余りは順に

0, 1, 4, 4, 1

である。したがって

x^{2} の余りは 0, 1, 4 のいずれか

である。

自然数解が存在すると仮定する。方程式を5を法として見ると

x^{2} \equiv 2 z^{2} (mod 5) .

(1) より、左辺の候補は $0, 1, 4$ 、右辺の候補は $0, 2, 3$ である。共通するのは0だけなので

5 ∣ x, 5 ∣ z .

$x = 5 x_{1}, z = 5 z_{1}$ と置くと

5 x_{1}^{2} + y^{2} = 10 z_{1}^{2}

となり、 $y^{2} \equiv 0 (mod 5)$ だから $5 ∣ y$ である。よって

x = 5 x_{1}, y = 5 y_{1}, z = 5 z_{1} .

元の式を25で割ると

x_{1}^{2} + 5 y_{1}^{2} = 2 z_{1}^{2}

となり、 $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ も自然数解である。この操作を繰り返すと $x, y, z$ は任意の $5^{m}$ で割り切れることになり、正の自然数であることに反する。したがって

自然数解は存在しない .

0^{2} \equiv 0, (\pm 1)^{2} \equiv 1, (\pm 2)^{2} \equiv 4 (mod 5)

だから、平方剰余は $0, 1, 4$ だけである。

自然数解のうち $z$ が最小のものを取る。 $x^{2} \equiv 2 z^{2} (mod 5)$ と平方剰余を比較すると、 $x, z$ は5の倍数である。 $x = 5 x_{1}, z = 5 z_{1}$ を代入した式

5 x_{1}^{2} + y^{2} = 10 z_{1}^{2}

から $y$ も5の倍数である。そこで $y = 5 y_{1}$ とすれば

x_{1}^{2} + 5 y_{1}^{2} = 2 z_{1}^{2} .

しかし $z_{1} = z /5 < z$ であり、 $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ はより小さい自然数解となる。これは $z$ の最小性に反するので、自然数解は存在しない。