熊本大学 2020年度文理共通数学第3問（理工系）解答・解説

問題

$0 < t < π /2$ とする。曲線

y = \frac{1}{cos ^{2} x} (0 ≦ x < \frac{π}{2})

と $x$ 軸、 $y$ 軸、直線 $x = t$ で囲まれる図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を $V (t)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $0 < a < b < π /2$ のとき、

π (b^{2} - a^{2}) \frac{1}{cos ^{2} a} ≦ V (b) - V (a) ≦ π (b^{2} - a^{2}) \frac{1}{cos ^{2} b}

を示せ。

(2) (1) を用いて

\frac{d}{d t} V (t) = 2 π t \frac{1}{cos ^{2} t}

を示せ。

(3) $V (π /3)$ を求めよ。

出典：熊本大学 2020年度前期文理共通第3問

方針

解法1（円環柱ではさんで差商を取る）

$sec^{2} x$ の単調増加性を使い、 $a ≦ x ≦ b$ の回転部分を高さ $sec^{2} a$ と $sec^{2} b$ の円環柱ではさむ。得た不等式を差商に変え、最後は $V^{'}$ を積分する。

解法2（円筒殻の積分式から統一的に示す）

半径 $x$ 、厚さ $d x$ 、高さ $sec^{2} x$ の円筒殻を積み重ね、

V (t) = 2 π \int_{0}^{t} x sec^{2} x d x

を得る。この式から(1)の評価、(2)の微分、(3)の値を順に導く。

解答

解法1（円環柱ではさんで差商を取る）

(1)

$0 ≦ x < π /2$ では $1/ cos^{2} x$ は単調に増加する。 $V (b) - V (a)$ は、半径 $a$ と $b$ の間の部分を回転してできる体積である。この部分は、高さ $1/ cos^{2} a$ の円環柱を含み、高さ $1/ cos^{2} b$ の円環柱に含まれる。

円環の底面積は $π (b^{2} - a^{2})$ だから、

π (b^{2} - a^{2}) \frac{1}{cos ^{2} a} ≦ V (b) - V (a) ≦ π (b^{2} - a^{2}) \frac{1}{cos ^{2} b} .

(2)

$h > 0$ とし、(1) に $a = t, b = t + h$ を代入して $h$ で割ると

π (2 t + h) \frac{1}{cos ^{2} t} ≦ \frac{V ( t + h ) - V ( t )}{h} ≦ π (2 t + h) \frac{1}{cos ^{2} ( t + h )} .

$h \to + 0$ とすれば、はさみうちにより右微分係数は

2 π t \frac{1}{cos ^{2} t} .

左側については (1) に $a = t + h, b = t$ （ $h < 0$ ）を用いれば同じ極限を得る。したがって

V^{'} (t) = 2 π t \frac{1}{cos ^{2} t} .

(3)

$V (0) = 0$ だから

V (\frac{π}{3}) = 2 π \int_{0}^{π /3} t \frac{1}{cos ^{2} t} d t .

部分積分により

\int t \frac{1}{cos ^{2} t} d t = t tan t + lo g (cos t) .

よって

V (\frac{π}{3}) = 2 π [t tan t + lo g (cos t)]_{0}^{π /3} = \frac{2 3}{3} π^{2} - 2 π lo g 2 .

解法2（円筒殻の積分式から統一的に示す）

半径 $x$ 、高さ $1/ cos^{2} x$ の薄い円筒殻の体積は

2 π x \frac{1}{cos ^{2} x} d x

だから、

V (t) = 2 π \int_{0}^{t} x \frac{1}{cos ^{2} x} d x .

(1)

$a ≦ x ≦ b$ では

\frac{1}{cos ^{2} a} ≦ \frac{1}{cos ^{2} x} ≦ \frac{1}{cos ^{2} b} .

正の $2 π x$ を掛けて $[a, b]$ で積分すると

\frac{1}{cos ^{2} a} \int_{a}^{b} 2 π x d x ≦ V (b) - V (a) ≦ \frac{1}{cos ^{2} b} \int_{a}^{b} 2 π x d x .

ここで

\int_{a}^{b} 2 π x d x = π (b^{2} - a^{2})

より、所要の不等式を得る。

(2)

積分で定めた関数の微分により

V^{'} (t) = 2 π t \frac{1}{cos ^{2} t} .

これは(1)の差商をはさみうちした結果と一致する。

(3)

V (\frac{π}{3}) = 2 π \int_{0}^{π /3} t sec^{2} t d t = 2 π [t tan t + lo g (cos t)]_{0}^{π /3} = \frac{2 3}{3} π^{2} - 2 π lo g 2 .

熊本大学 2020年度文理共通数学 第3問（理工系）

問題

方針

解法1（円環柱ではさんで差商を取る）

解法2（円筒殻の積分式から統一的に示す）

解答

解法1（円環柱ではさんで差商を取る）

(1)

(2)

(3)

解法2（円筒殻の積分式から統一的に示す）

(1)

(2)

(3)

熊本大学 2020年度
文理共通数学第3問（理工系）