熊本大学 2021年度文理共通数学数学① 第3問／数学② 第2問解答・解説

問題

曲線 $C ： y = x^{3} - 2 x^{2} + x$ 上に点 $P_{1}$ $(2, 2)$ がある．自然数 $n$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ に対して点 $P_{n}$ から点 $P_{n + 1}$ を次のように定める．点 $P_{n}$ を接点とする $C$ の接線を $l_{n}$ とし， $C$ と $l_{n}$ の共有点のうち， $P_{n}$ と異なるものを $P_{n + 1}$ とする．点 $P_{n}$ の $x$ 座標を $a_{n}$ とする．(問1)　 $P_{2}$ の座標を求めよ．(問2)　接線 $l_{n}$ の傾きおよび $y$ 切片をそれぞれ $a_{n}$ を用いて表せ．(問3)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通数学① 第3問／数学② 第2問

方針

解法1

接線と三次曲線の差は接点で二重根をもつ。根の和から次の交点の $x$ 座標を出し，一次漸化式 $a_{n + 1} = 2 - 2 a_{n}$ を解く。

解法2（接線との差を完全因数分解）

一般の接点 $x = p$ における接線を $T_{p} (x)$ と置き、 $f (x) - T_{p} (x)$ を直接因数分解する。接点以外の共有点が式から直ちに読めるため、根と係数の関係を使わずに漸化式を得られる。

解答

解法1

(問1)

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ とすると $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ 。 $P_{1} = (2, 2)$ での接線は $y = 5 x - 8$ である。

x^{3} - 2 x^{2} + x = 5 x - 8 ⟺ (x - 2)^{2} (x + 2) = 0

より， $P_{2} = (- 2, - 18)$ 。

(問2)

傾きは

3 a_{n}^{2} - 4 a_{n} + 1.

切片は

f (a_{n}) - a_{n} f^{'} (a_{n}) = 2 a_{n}^{2} (1 - a_{n}) .

(問3)

接線との差は接点 $x = a_{n}$ を二重根にもつ。もう一つの根を $r$ とすると根の和から $2 a_{n} + r = 2$ ，すなわち

a_{n + 1} = 2 - 2 a_{n} .

よって

a_{n + 1} - \frac{2}{3} = - 2 (a_{n} - \frac{2}{3}), a_{1} = 2

から

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} (- 2)^{n - 1} .

解法2（接線との差を完全因数分解）

(問1)

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ とする。 $p$ を接点の $x$ 座標とし、その接線を

T_{p} (x) = f (p) + f^{'} (p) (x - p)

とおく。展開すると次の恒等式を得る。

f (x) - T_{p} (x) = (x - p)^{2} (x + 2 p - 2)

$p = 2$ のとき、接点以外の共有点の $x$ 座標は $- 2$ である。したがって

P_{2} = (- 2, f (- 2)) = (- 2, - 18)

である。

(問2)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ より、接線 $l_{n}$ の傾きは

3 a_{n}^{2} - 4 a_{n} + 1

である。切片は

f (a_{n}) - a_{n} f^{'} (a_{n}) = a_{n}^{3} - 2 a_{n}^{2} + a_{n} - a_{n} (3 a_{n}^{2} - 4 a_{n} + 1) = 2 a_{n}^{2} (1 - a_{n})

である。

(問3)

上の因数分解で $p = a_{n}$ とすると、接点以外の共有点は

x + 2 a_{n} - 2 = 0

を満たす。よって

a_{n + 1} = 2 - 2 a_{n}

である。この一次変換の不動点は $2/3$ であり

a_{n + 1} - \frac{2}{3} = - 2 (a_{n} - \frac{2}{3})

となる。したがって、 $a_{1} = 2$ を用いて

a_{n} - \frac{2}{3} = (- 2)^{n - 1} (a_{1} - \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} (- 2)^{n - 1}

であるから

a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} (- 2)^{n - 1}

を得る。

熊本大学 2021年度文理共通数学 数学① 第3問／数学② 第2問

問題

方針

解法1

解法2（接線との差を完全因数分解）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（接線との差を完全因数分解）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
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