熊本大学 2021年度文理共通数学第4問（理工系）解答・解説

問題

次の問いに答えよ．(問1)　 $n$ を正の整数とするとき，定積分 $\int_{0}^{2 π} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x$ を求めよ．(問2)　 $c$ を正の数とするとき， $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{c} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x$ を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第4問

方針

解法1

一周期分の絶対値積分を先に求め， $u = n x$ と周期性で問1を出す。問2は $n c$ を周期部分と余りに分け，余りの寄与が消えることを示す。

解法2（和積公式と有界な周期原始関数）

一周期の絶対値積分は和積公式で対称的に計算する。極限では一周期平均を引いた関数の原始関数を作り、その周期性と有界性から誤差が $O (1/ n)$ であることを示す。

解答

解法1

(問1)

$h (u) = ∣ sin u - sin 2 u ∣$ とする。 $0 ≦ u ≦ 2 π$ で $sin u - sin 2 u = sin u (1 - 2 cos u)$ の零点は $0, \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}, 2 π$ 。符号に注意して積分すると

\int_{0}^{2 π} h (u) d u = 5.

よって $u = n x$ と周期性から

\int_{0}^{2 π} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{2 nπ} h (u) d u = 5.

(問2)

$n c = 2 π q_{n} + r_{n}$ ， $0 ≦ r_{n} < 2 π$ とおくと

\int_{0}^{c} h (n x) d x = \frac{5 q _{n}}{n} + \frac{1}{n} \int_{0}^{r_{n}} h (u) d u .

余り部分は $0$ に近づき， $q_{n} / n \to c / (2 π)$ 。したがって

n \to \infty lim \int_{0}^{c} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x = \frac{5 c}{2 π} .

解法2（和積公式と有界な周期原始関数）

(問1)

和積公式より

sin u - sin 2 u = - 2 sin \frac{u}{2} cos \frac{3 u}{2}

である。 $0 ≦ u ≦ 2 π$ では $sin (u /2) ≧ 0$ なので、 $v = u /2$ と置くと一周期の積分は

J = 4 \int_{0}^{π} sin v ∣ cos 3 v ∣ d v

となる。 $cos 3 v$ の符号は $v = π /6, π /2, 5 π /6$ で切り替わり

\int sin v cos 3 v d v = - \frac{1}{8} cos 4 v + \frac{1}{4} cos 2 v

である。4区間に分けて代入すると

J = 4 (\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{9}{16} + \frac{1}{16}) = 5

を得る。 $p (u) = ∣ sin u - sin 2 u ∣$ とおけば、 $p$ は周期 $2 π$ だから

\int_{0}^{2 π} p (n x) d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{2 nπ} p (u) d u = \frac{1}{n} \cdot n J = 5

である。

(問2)

一周期平均は

μ = \frac{J}{2 π} = \frac{5}{2 π}

である。ここで

H (v) = \int_{0}^{v} {p (u) - μ} d u

とおく。被積分関数は周期 $2 π$ で一周期の積分が0なので、 $H$ も周期 $2 π$ で有界である。したがって

\int_{0}^{c} p (n x) d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{n c} p (u) d u = μ c + \frac{H ( n c )}{n}

である。 $H (n c) / n \to 0$ より

n \to \infty lim \int_{0}^{c} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x = \frac{5 c}{2 π}

となる。

熊本大学 2021年度文理共通数学 第4問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2（和積公式と有界な周期原始関数）

解答

解法1

(問1)

(問2)

解法2（和積公式と有界な周期原始関数）

(問1)

(問2)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第4問（理工系）