熊本大学 2021年度文理共通数学第4問（理工系2）解答・解説

問題

次の問いに答えよ．(問1)　 $0 ≦ x ≦ π$ のとき， $sin x = sin 2 x$ の解を求めよ．(問2)　 $\int_{0}^{2 π} ∣ sin x - sin 2 x ∣ d x$ を求めよ．(問3)　 $n$ を正の整数とするとき，定積分 $\int_{0}^{2 π} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x$ を求めよ．(問4)　 $c$ を正の数とするとき， $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{c} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x$ を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第4問

方針

解法1

$sin x - sin 2 x = sin x (1 - 2 cos x)$ の符号変化を調べて一周期分の絶対値積分を求める。以後は $u = n x$ と周期平均で処理する。

解法2（和積公式と平均値から処理）

和積公式で $sin x - sin 2 x$ を積にし、一周期の絶対値積分を対称的に計算する。極限は周期ごとの商と余りではなく、平均を引いた関数の原始関数が有界であることから直接示す。

解答

解法1

(問1)

$sin x = sin 2 x$ は $sin x (1 - 2 cos x) = 0$ と同値。 $0 ≦ x ≦ π$ より

x = 0, \frac{π}{3}, π .

(問2)

$h (x) = sin x - sin 2 x$ の零点は $0, \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}, 2 π$ 。 $F (x) = - cos x + \frac{1}{2} cos 2 x$ とすると，符号に注意して

\int_{0}^{2 π} ∣ h (x) ∣ d x = 5.

(問3)

$u = n x$ とおくと，周期性より

\int_{0}^{2 π} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{2 nπ} ∣ sin u - sin 2 u ∣ d u = 5.

(問4)

$h (u) = ∣ sin u - sin 2 u ∣$ とし， $n c = 2 π q_{n} + r_{n}$ ， $0 ≦ r_{n} < 2 π$ とおく。

\int_{0}^{c} h (n x) d x = \frac{5 q _{n}}{n} + \frac{1}{n} \int_{0}^{r_{n}} h (u) d u .

第2項は0に近づき， $q_{n} / n \to c / (2 π)$ 。よって極限は

\frac{5 c}{2 π} .

解法2（和積公式と平均値から処理）

(問1)

和積公式より

sin x - sin 2 x = - 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{3 x}{2}

である。したがって、 $0 ≦ x ≦ π$ における解は $x = 0, π /3, π$ である。

(問2)

$0 ≦ x ≦ 2 π$ では $sin (x /2) ≧ 0$ である。 $u = x /2$ と置くと

I = \int_{0}^{2 π} ∣ sin x - sin 2 x ∣ d x = 4 \int_{0}^{π} sin u ∣ cos 3 u ∣ d u

となる。 $cos 3 u$ の符号は $u = π /6, π /2, 5 π /6$ で切り替わる。また、原始関数は $- \frac{1}{8} cos 4 u + \frac{1}{4} cos 2 u$ である。4区間で符号を交互に変えて代入すると

I = 4 (\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{9}{16} + \frac{1}{16}) = 5

を得る。

(問3)

$p (u) = ∣ sin u - sin 2 u ∣$ とおくと、 $p$ は周期 $2 π$ で一周期の積分が5である。したがって

\int_{0}^{2 π} p (n x) d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{2 nπ} p (u) d u = \frac{1}{n} \cdot n \cdot 5 = 5

である。

(問4)

一周期平均と平均偏差の原始関数を

μ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} p (u) d u = \frac{5}{2 π}, H (v) = \int_{0}^{v} {p (u) - μ} d u

とおく。 $p - μ$ は一周期の積分が0なので、 $H$ は周期 $2 π$ の有界な関数である。よって

\int_{0}^{c} p (n x) d x = μ c + \frac{H ( n c )}{n} ⟶ \frac{5 c}{2 π}

である。

熊本大学 2021年度文理共通数学 第4問（理工系2）

問題

方針

解法1

解法2（和積公式と平均値から処理）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

解法2（和積公式と平均値から処理）

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第4問（理工系2）