熊本大学 2021年度文理共通数学第4問（文系学部）解答・解説

問題

$a$ を $a > 1$ である実数とする． $x$ についての連立不等式 ${x^{3} + 2 a x^{2} - a^{2} x - 2 a^{3} < 0 3 x^{2} - x < 4 a - 12 a x$ の解について考える．連立不等式の解のうち整数であるものの個数を $m (a)$ とする．(問1)　連立不等式を解け．(問2)　 $a > 2$ のとき， $m (a)$ の最小値を求めよ．(問3)　 $m (a) = 4$ となる $a$ の値の範囲を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第4問

方針

解法1

二つの不等式を因数分解し， $a > 1$ での根の順序を使って解区間を出す。整数個数は二つの開区間に含まれる整数を境界に注意して数える。

解法2（整数が出入りする境界を表にする）

連立不等式を2つの開区間に直した後、左側の整数を $q = - x$ で正の整数に置き換える。(問3)では各整数 $q$ が条件 $2 a < q < 4 a$ を満たす $a$ の範囲を表にし、端点を含むかどうかまで直接数える。

解答

解法1

(問1)

x^{3} + 2 a x^{2} - a^{2} x - 2 a^{3} = (x + 2 a) (x - a) (x + a)

より第1不等式は $x < - 2 a$ または $- a < x < a$ 。また

3 x^{2} + (12 a - 1) x - 4 a = (3 x - 1) (x + 4 a)

より第2不等式は $- 4 a < x < \frac{1}{3}$ 。したがって

- 4 a < x < - 2 a, - a < x < \frac{1}{3} .

(問2)

$a > 2$ のとき，後者の区間には $- 2, - 1, 0$ の3個，前者の区間には少なくとも $- 8, - 7, - 6, - 5$ の4個が入るので $m (a) ≧ 7$ 。 $2 < a ≦ \frac{9}{4}$ ではちょうどこれら7個であるから最小値は

7.

(問3)

$1 < a ≦ 2$ では $(- a, \frac{1}{3})$ に含まれる整数は $- 1, 0$ の2個である。 $(- 4 a, - 2 a)$ の整数個数は，正の整数 $q = - x$ で

2 a < q < 4 a

を満たす個数である。これが2個になるのは

1 < a ≦ \frac{5}{4} ， a = \frac{3}{2}

である。 $a > 2$ では後者の区間だけで3個以上になるので不可。

解法2（整数が出入りする境界を表にする）

(問1)

2つの左辺を因数分解すると

(x + 2 a) (x - a) (x + a) < 0

および

(3 x - 1) (x + 4 a) < 0

である。 $a > 1$ で根の順序を調べると、それぞれ

x < - 2 a または - a < x < a

および

- 4 a < x < \frac{1}{3}

となる。共通部分は

- 4 a < x < - 2 a, - a < x < \frac{1}{3}

である。

(問2)

$a > 2$ なら、区間 $(- a, 1/3)$ には少なくとも $- 2, - 1, 0$ の3整数が入る。また $(- 4 a, - 2 a)$ の長さは $2 a > 4$ なので少なくとも4整数が入る。よって $m (a) ≧ 7$ である。実際、 $a = 9/4$ のとき

(- 4 a, - 2 a) = (- 9, - 9/2), (- a, 1/3) = (- 9/4, 1/3)

であり、入る整数は

- 8, - 7, - 6, - 5, - 2, - 1, 0

の7個である。したがって最小値は

7

である。

(問3)

$a > 2$ では(問2)より $m (a) ≧ 7$ なので、 $1 < a ≦ 2$ だけを調べればよい。この範囲では $(- a, 1/3)$ に入る整数は $- 1, 0$ の2個である。

左側の区間で $q = - x$ と置くと、正の整数 $q$ に対する条件は

2 a < q < 4 a

である。 $1 < a ≦ 2$ で候補となる $q$ を表にすると

q 34567 2 a < q < 4 a を満たす a の範囲 (1, 3/2) (1, 2) (5/4, 2] (3/2, 2] (7/4, 2]

である。これを数えると、左側の整数が2個になるのは

1 < a ≦ \frac{5}{4} または a = \frac{3}{2}

だけである。右側の2個と合わせて $m (a) = 4$ となる範囲は

1 < a ≦ \frac{5}{4}, a = \frac{3}{2}

である。

熊本大学 2021年度文理共通数学 第4問（文系学部）

問題

方針

解法1

解法2（整数が出入りする境界を表にする）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（整数が出入りする境界を表にする）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第4問（文系学部）