熊本大学 2021年度文理共通数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

媒介変数 $t$ を用いて表された曲線 $C ： x = \frac{1}{2} (e^{t} + e^{- t}) ，$ $y = \frac{1}{2} (e^{t} - e^{- t})$ を考える．(問1)　点 $M$ の座標を $(0, 1)$ とする．曲線 $C$ 上の点 $P$ に対して， $M P$ を最小にする $t$ の値 $t_{0}$ を求めよ．(問2)　(問1)の $t_{0}$ に対する曲線 $C$ 上の点を $Q$ とする． $Q$ における $C$ の接線を $l$ とするとき，曲線 $C$ と接線 $l$ および $x$ 軸で囲まれた部分 $D$ の面積を求めよ．(問3)　(問2)の $D$ を $y$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第3問

方針

解法1

媒介表示から $x^{2} - y^{2} = 1$ を得る。距離最小は $M P^{2}$ を $y$ の二次式にし，面積は接線下の三角形から曲線下を引く。体積は $y$ で切った円環の積分で求める。

解法2（媒介変数微分と円筒殻）

媒介表示から $x^{'} = y, y^{'} = x$ を読み、距離の平方を $t$ で微分する。面積は接線下の三角形から曲線下を引き、回転体積は $x$ 軸方向の縦切片を円筒殻として積分する。

解答

解法1

(問1)

曲線は $x^{2} - y^{2} = 1$ ， $x > 0$ 。したがって

M P^{2} = x^{2} + (y - 1)^{2} = 2 (y - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} .

最小は $y = \frac{1}{2}$ 。 $u = e^{t}$ とおくと $u - u^{- 1} = 1$ ，すなわち $u^{2} - u - 1 = 0$ 。よって

t_{0} = lo g \frac{1 + 5}{2} .

(問2)

$Q = (\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$ 。接線は $y = 5 x - 2$ ， $x$ 軸との交点は $x = \frac{2}{5}$ 。接線と $x$ 軸の三角形の面積は $\frac{5}{40}$ 。また

\int_{1}^{5 /2} x^{2} - 1 d x = \int_{0}^{t_{0}} (\frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2})^{2} d t = \frac{5}{8} - \frac{t _{0}}{2} .

したがって

[D] = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + 5}{2} - \frac{5}{10} .

(問3)

$0 ≦ y ≦ \frac{1}{2}$ で，右端は $x = 1 + y^{2}$ ，左端は $x = \frac{y + 2}{5}$ 。よって体積は

π \int_{0}^{1/2} {1 + y^{2} - (\frac{y + 2}{5})^{2}} d y = \frac{π}{30} .

解法2（媒介変数微分と円筒殻）

(問1)

媒介表示から

x^{2} - y^{2} = 1, \frac{d x}{d t} = y, \frac{d y}{d t} = x

である。距離の平方を $R (t) = M P^{2}$ とすると

R (t) = x^{2} + (y - 1)^{2}

であり

R^{'} (t) = 2 x y + 2 (y - 1) x = 2 x (2 y - 1)

となる。常に $x > 0$ で、 $y$ は $t$ とともに増加するから、最小は $y = 1/2$ のときである。 $u = e^{t} > 0$ と置くと

\frac{1}{2} (u - u^{- 1}) = \frac{1}{2}

より $u^{2} - u - 1 = 0$ である。したがって

t_{0} = lo g \frac{1 + 5}{2}

である。

(問2)

$Q$ では $y = 1/2$ かつ $x^{2} - y^{2} = 1$ なので

Q = (\frac{5}{2}, \frac{1}{2})

である。接線の傾きは

\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} = 5

だから

l : y = 5 x - 2

である。 $x$ 軸との交点は $x = 2/ 5$ で、接線と $x$ 軸が作る三角形の面積は

\frac{1}{2} (\frac{5}{2} - \frac{2}{5}) \frac{1}{2} = \frac{5}{40}

である。曲線下の面積は媒介変数を用いて

\int_{1}^{5 /2} y d x = \int_{0}^{t_{0}} y^{2} d t = \frac{5}{8} - \frac{t _{0}}{2}

である。したがって

[D] = \frac{t _{0}}{2} - \frac{5}{10} = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + 5}{2} - \frac{5}{10}

となる。

(問3)

$y$ 軸回転を円筒殻で求める。 $2/ 5 ≦ x ≦ 1$ では高さが $5 x - 2$ 、 $1 ≦ x ≦ 5 /2$ では高さが $5 x - 2 - x^{2} - 1$ である。よって

V = 2 π {\int_{2/ 5}^{1} x (5 x - 2) d x + \int_{1}^{5 /2} x (5 x - 2 - x^{2} - 1) d x}

である。2つの接線部分をまとめると

\int_{2/ 5}^{5 /2} x (5 x - 2) d x = \frac{7}{120}

であり

\int_{1}^{5 /2} x x^{2} - 1 d x = \frac{1}{24}

である。したがって

V = 2 π (\frac{7}{120} - \frac{1}{24}) = \frac{π}{30}

を得る。

熊本大学 2021年度文理共通数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解法1

解法2（媒介変数微分と円筒殻）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（媒介変数微分と円筒殻）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第3問（医学部医学科）