問題
空間の点を通らない平面をとる．上の点は三角形をなすとし．とおく．直線は媒介変数を用いてと表されるとする．(問1) は平面上にあることを示せ．(問2) の各辺と直線との交点の個数をそれぞれ求めよ．また，交点がある場合，各交点について，をを用いてそれぞれ表せ．(問3) の中点をとし．となる点を考える．点と上の点を通る直線は点を通る直線と交点をもつとし，その交点をとする．このとき，をを用いて表せ．
方針
解法1
係数和で平面上の点を判定し，各辺では対応しない頂点の係数を0にする。辺上にあるかは残りの係数が0以上かで確認する。最後は直線 と を係数比較する。
解法2（辺上の比と直線上の係数比）
直線 の基準点と方向から平面上にあることを示す。各辺との交点は係数を0にして求め、係数が負なら辺の延長上であると判定する。(問3)は 上で の係数が等しいことを利用する。
解答
解法1
(問1)
直線上の点は
で，係数和が だから平面 上にある。
(問2)
辺 では の係数が なので ，
辺 では の係数が なので ，
辺 では となるが， の係数が となり辺上にない。よって個数は が1個， が1個， が0個。
(問3)
。 を直線 と直線 の交点として係数比較すると
よって ，。したがって
解法2（辺上の比と直線上の係数比）
(問1)
の点は
で辺 上にある。直線の方向ベクトルは
であり、平面 に平行である。よって である。
(問2)
直線上の点は
と表される。辺 では の係数が0なので となり
である。辺 では の係数が0なので となり
である。辺 の直線とは で交わるが、このとき係数は
であり、 の係数が負なので辺 上にはない。したがって交点の個数は と が各1個、 が0個である。
(問3)
は の中点だから
である。直線 上では と の係数が等しい。したがって、直線 の方向でも両係数が等しくなり
を得る。このとき方向の係数比は
である。直線 上の点を と書けば
である。よって
となる。