熊本大学 2021年度文理共通数学第3問（理工系）解答・解説

問題

複素数 $w$ は実部，虚部ともに正であるとする．相異なる複素数 $α ，$ $β ，$ $γ$ は ${(w + 2) α}^{2} + (w β)^{2} - (2 γ)^{2}$ $= 4 (w + 2) α^{2} + 2 w^{2} α β - 8 α γ$ を満たすとする． $α ，$ $β ，$ $γ$ を表す複素数平面上の点をそれぞれ $A ，$ $B ，$ $C$ とする．(問1)　 $(\frac{γ - α}{β - α})^{2}$ を $w$ を用いて表せ．(問2)　 $△ A B C$ が正三角形であるときの $w$ の値を求めよ．(問3)　 $△ A B C$ が正三角形であるとする． $w = α$ かつ $△ A B C$ の重心が点 $\frac{w ^{2}}{2}$ であるとき， $β$ と $γ$ の値を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第3問

方針

解法1

$(γ - α) / (β - α)$ を $u$ として与式を整理する。正三角形では $u$ が $6 0^{\circ}$ の回転比になり，最後は重心条件と連立する。

解法2（式の直接因数分解と重心回転）

与式を一方へ移して $α, β, γ$ の差の平方に直接まとめる。正三角形の頂点は重心の周りに120度ずつ並ぶため、(問3)は連立方程式ではなく重心からの回転で求める。

解答

解法1

(問1)

$d = β - α$ ， $u = \frac{γ - α}{β - α}$ とおく。 $d \neq = 0$ ， $β = α + d$ ， $γ = α + u d$ を与式に代入して整理すると

w^{2} d^{2} - 4 u^{2} d^{2} = 0

となる。よって

(\frac{γ - α}{β - α})^{2} = \frac{w ^{2}}{4} .

(問2)

正三角形では

\frac{γ - α}{β - α} = \frac{1 + 3 i}{2} または \frac{1 - 3 i}{2} .

また問1より $u = \pm w /2$ 。 $w$ の実部，虚部がともに正であることから

w = 1 + 3 i .

(問3)

正三角形条件から $γ - α = \frac{w}{2} (β - α)$ 。 $α = w$ ， $d = β - w$ とおくと $γ = w + \frac{w}{2} d$ 。重心条件より

\frac{w + ( w + d ) + ( w + \frac{w}{2} d )}{3} = \frac{w ^{2}}{2} .

したがって

d = \frac{3 w ( w - 2 )}{w + 2} = - 3 + 3 i .

$w = 1 + 3 i$ なので

β = - 2 + 23 i, γ = - 2.

解法2（式の直接因数分解と重心回転）

(問1)

与式を左辺に移して $α^{2}$ の係数を整理すると

0 = w^{2} α^{2} + w^{2} β^{2} - 2 w^{2} α β - 4 α^{2} - 4 γ^{2} + 8 α γ

である。したがって

w^{2} (β - α)^{2} - 4 (γ - α)^{2} = 0

となる。 $α \neq = β$ より

(\frac{γ - α}{β - α})^{2} = \frac{w ^{2}}{4}

である。

(問2)

u = \frac{γ - α}{β - α}

とおく。正三角形であるための条件は

u = e^{iπ /3} または u = e^{- iπ /3}

である。また(問1)より $w = \pm 2 u$ である。これら4候補のうち実部と虚部がともに正であるものは

w = 1 + 3 i

だけである。

(問3)

正三角形の重心を $G$ とする。正三角形では重心と外心が一致し、3頂点は $G$ の周りに120度ずつ並ぶ。ここで

G = \frac{w ^{2}}{2} = - 1 + 3 i, A = w = 1 + 3 i

だから

G A = 2

である。このベクトルを $2 π /3$ と $4 π /3$ だけ回転すると

2 e^{2 π i /3} = - 1 + 3 i, 2 e^{4 π i /3} = - 1 - 3 i

である。したがって残る2頂点は

G + 2 e^{2 π i /3} = - 2 + 23 i, G + 2 e^{4 π i /3} = - 2

である。(問1)の向き $u = w /2 = e^{iπ /3}$ と一致するように対応させると

β = - 2 + 23 i, γ = - 2

を得る。

熊本大学 2021年度文理共通数学 第3問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2（式の直接因数分解と重心回転）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（式の直接因数分解と重心回転）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第3問（理工系）