問題
空間の点を通らない平面をとる．上の点は三角形をなすとし．とおく．をより大きい定数とする．直線は媒介変数を用いてと表されるとする．上を点が動くとき，点を通る直線と平面の交点の軌跡をとする．(問1) の各辺ととの交点の個数をそれぞれ求めよ．また，交点がある場合，各交点について，をを用いてそれぞれ表せ．(問2) の中点をとする．を含みに平行な平面をとし，を通る直線と平面の交点をとする．点と上の点を通る直線は点を通る直線と交点をもつとし，その交点をとする．このとき，をおよびを用いて表せ．
方針
解法1
上の点は係数和が なので，直線 と の交点はその 倍である。平行平面 は係数和 の点からなることを使う。
解法2（中心相似と係数比）
点 を中心とする倍率 の相似で、平面 上の直線 を平面 上の軌跡 へ移す。(問2)は 上の係数比と の方向比を比較する。
解答
解法1
(問1)
の位置ベクトルは
で係数和は 。したがって はその 倍で
よって との交点は で ， との交点は で 。 では だが の係数が負なので交点はない。
(問2)
。平面 は係数和 の平面なので
を問1の式で表し， かつ として係数比較すると
よって ，。したがって
解法2（中心相似と係数比）
(問1)
直線 上の点 の位置ベクトルは
である。括弧内の3係数の和は1なので、直線 と平面 の交点 は
である。すなわち は を点 中心、倍率 で縮小した直線である。
辺 では の係数が0なので となり
である。辺 では の係数が0なので となり
である。辺 の直線とは で交わるが、 の係数が なので辺上にはない。したがって交点数は と が各1個、 が0個である。
(問2)
平面 は を点 中心、倍率 で移した平面である。したがって、直線 と の交点は の像であり
である。直線 上では と の係数が等しいから、直線 の方向について
を得る。このとき方向の係数比は
である。直線 上の点を
と書く。 と の係数比を比較すると
であり
となる。よって
である。