熊本大学 2021年度文理共通数学第2問（理工系）解答・解説

問題

空間の点 $O$ を通らない平面 $α$ をとる． $α$ 上の $3$ 点 $A ，$ $B ，$ $C$ は三角形をなすとし． $O A = a ，$ $O B = b ，$ $O C = c$ とおく．直線 $l$ は媒介変数 $t$ を用いて $\frac{1}{3} (b + 2 c) + \frac{t}{3} (2 a - b - c)$ と表されるとする．(問1)　 $l$ は平面 $α$ 上にあることを示せ．(問2)　 $l$ と辺 $A C$ の交点を $X$ とする． $O X$ を $a ，$ $b ，$ $c$ を用いて表せ．(問3)　 $A ，$ $B$ の中点を $D$ とし． $O E = 2 O D$ となる点 $E$ を考える．点 $O$ と $l$ 上の点 $Y$ を通る直線は $2$ 点 $E ，$ $C$ を通る直線と交点をもつとし，その交点を $F$ とする．このとき， $O F$ を $a ，$ $b ，$ $c$ を用いて表せ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第2問

方針

解法1

直線上の点を $a, b, c$ の係数で表す。係数和が $1$ なら平面 $α$ 上であり，辺との交点や直線同士の交点は係数比較で決める。

解法2（方向ベクトルと係数比）

直線上の基準点が辺 $B C$ 上にあり、方向ベクトルが平面 $α$ に平行であることから(問1)を示す。(問3)は直線 $E C$ 上で $a, b$ の係数が等しいことを先に使い、残りを係数比だけで決める。

解答

解法1

(問1)

直線上の点を $p$ とすると

p = \frac{2 t}{3} a + \frac{1 - t}{3} b + \frac{2 - t}{3} c

であり，係数和は $1$ である。よって $l$ は平面 $α$ 上にある。

(問2)

辺 $A C$ 上では $b$ の係数が $0$ だから $t = 1$ 。したがって

O X = \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} c .

(問3)

$O E = a + b$ である。 $F \in O Y$ かつ $F \in E C$ より

λ (\frac{2 t}{3} a + \frac{1 - t}{3} b + \frac{2 - t}{3} c) = (1 - μ) (a + b) + μ c .

係数比較で $2 t = 1 - t$ より $t = \frac{1}{3}$ ，さらに

\frac{2 λ}{9} = 1 - μ, \frac{5 λ}{9} = μ

より $λ = \frac{9}{7}$ 。よって

O F = \frac{2}{7} a + \frac{2}{7} b + \frac{5}{7} c .

解法2（方向ベクトルと係数比）

(問1)

$t = 0$ に対応する点 $U$ は

O U = \frac{1}{3} b + \frac{2}{3} c

であり、辺 $B C$ 上にある。また直線 $l$ の方向ベクトルは

\frac{1}{3} (2 a - b - c) = \frac{1}{3} {(a - b) + (a - c)}

である。これは平面 $α$ に平行な2つのベクトルの和である。よって、 $l$ は平面 $α$ 上にある。

(問2)

直線上の点の位置ベクトルを展開すると

\frac{2 t}{3} a + \frac{1 - t}{3} b + \frac{2 - t}{3} c

である。辺 $A C$ 上では $b$ の係数が0なので $t = 1$ であり

O X = \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} c

を得る。

(問3)

中点条件から

O E = a + b

である。直線 $E C$ 上の点は、ある実数 $s$ を用いて

(1 - s) (a + b) + s c

と表せる。したがって、直線 $E C$ 上では $a$ と $b$ の係数が等しい。点 $F$ は直線 $O Y$ 上にもあるので、 $Y$ を与える直線 $l$ 上の点でも両係数が等しくなければならない。よって

2 t = 1 - t, t = \frac{1}{3}

である。このとき $O Y$ の方向の係数比は

a : b : c = 2 : 2 : 5

である。一方、直線 $E C$ 上では係数が $(1 - s, 1 - s, s)$ だから

\frac{s}{1 - s} = \frac{5}{2}, s = \frac{5}{7}

となる。したがって

O F = \frac{2}{7} a + \frac{2}{7} b + \frac{5}{7} c

である。

熊本大学 2021年度文理共通数学 第2問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2（方向ベクトルと係数比）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（方向ベクトルと係数比）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第2問（理工系）