熊本大学 2021年度文理共通数学第1問（文系学部）解答・解説

問題

$2$ つの関数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 2 x - 4 ，$ $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x - 2$ について，曲線 $y = f (x)$ と曲線 $y = g (x)$ の $2$ つの交点の $x$ 座標を $a ，$ $b$ $（ a > b ）$ とする．(問1)　 $a ，$ $b$ を求めよ．(問2)　 $2$ つの曲線 $y = f (x) ，$ $y = g (x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．(問3)　実数 $t$ は $t > ∣ a ∣$ かつ $t > ∣ b ∣$ を満たすとする． $4$ つの不等式 $x ≧ a ，$ $y ≦ f (x) ，$ $y ≧ g (x) ，$ $x ≦ t$ を満たす領域の面積を $S_{1} ，$ また， $4$ つの不等式 $x ≦ b ，$ $y ≦ f (x) ，$ $y ≧ g (x) ，$ $x ≧ - t$ を満たす領域の面積を $S_{2}$ とする． $S_{1}$ と $S_{2}$ の和が(問2)の $S$ と等しいときの $t$ の値を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第1問

方針

解法1

$f - g$ を因数分解して交点を出し，内側では $g - f$ ，外側では $f - g$ を積分する。最後に $S_{1} + S_{2} = S$ から $t$ を決める。

解法2（対称区間にまとめる）

2曲線の差を $h (x) = f (x) - g (x)$ と置く。(問3)の左右の面積を、対称区間 $[- t, t]$ の積分と中央部分の積分にまとめると、奇関数部分が消えて計算が短くなる。

解答

解法1

(問1)

f (x) - g (x) = x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

より， $a = 2, b = - 1$ である。

(問2)

$- 1 ≦ x ≦ 2$ では $g (x) ≧ f (x)$ であるから

S = \int_{- 1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = \frac{9}{2} .

(問3)

$t > 2$ で， $F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} - 2 x$ とおくと

S_{1} = F (t) - F (2), S_{2} = F (- 1) - F (- t) .

$F (2) = - \frac{10}{3}$ ， $F (- 1) = \frac{7}{6}$ より

S_{1} + S_{2} = \frac{2}{3} t^{3} - 4 t + \frac{9}{2} .

これが $S = \frac{9}{2}$ に等しいから $t (t^{2} - 6) = 0$ 。 $t > 2$ より

t = 6 .

解法2（対称区間にまとめる）

(問1)

2曲線の交点では $f (x) - g (x) = 0$ である。

h (x) = f (x) - g (x) = x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

より

a = 2, b = - 1

である。

(問2)

区間 $[- 1, 2]$ では $h (x) ≦ 0$ だから、囲まれた面積は

S = - \int_{- 1}^{2} h (x) d x = \int_{- 1}^{2} (2 - x) (x + 1) d x = \frac{9}{2}

である。

(問3)

$t > 2$ であり、左右の外側では $h (x) ≧ 0$ である。したがって

S_{1} + S_{2} = \int_{- t}^{- 1} h (x) d x + \int_{2}^{t} h (x) d x

である。ここで

\int_{- t}^{t} h (x) d x = \int_{- t}^{- 1} h (x) d x + \int_{- 1}^{2} h (x) d x + \int_{2}^{t} h (x) d x

だから、 $\int_{- 1}^{2} h (x) d x = - S$ を用いると

S_{1} + S_{2} = S + \int_{- t}^{t} (x^{2} - x - 2) d x

となる。条件 $S_{1} + S_{2} = S$ は

\int_{- t}^{t} (x^{2} - x - 2) d x = 0

と同値である。対称区間では奇関数 $- x$ の積分が0になるので

\frac{2}{3} t^{3} - 4 t = \frac{2 t}{3} (t^{2} - 6) = 0

である。 $t > 2$ より

t = 6

を得る。

熊本大学 2021年度文理共通数学 第1問（文系学部）

問題

方針

解法1

解法2（対称区間にまとめる）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（対称区間にまとめる）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第1問（文系学部）