熊本大学 2021年度文理共通数学第2問（理工系2）解答・解説

問題

複素数 $w$ は実部，虚部ともに正であるとする．相異なる複素数 $α ，$ $β ，$ $γ$ は ${(w + 2) α}^{2} + (w β)^{2} - (2 γ)^{2}$ $= 4 (w + 2) α^{2} + 2 w^{2} α β - 8 α γ$ を満たすとする． $α ，$ $β ，$ $γ$ を表す複素数平面上の点をそれぞれ $A ，$ $B ，$ $C$ とする．(問1)　 $\frac{γ - α}{β - α}$ の偏角 $θ$ $（ 0 ≦ θ < 2 π ）$ のとりうる範囲を求めよ．(問2)　 $△ A B C$ が正三角形であるときの $w$ の値を求めよ．(問3)　 $△ A B C$ が正三角形であるとする． $w = α$ かつ $△ A B C$ の重心が点 $\frac{w ^{2}}{2}$ であるとき， $β$ と $γ$ の値を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期文理共通第2問

方針

解法1

$u = (γ - α) / (β - α)$ として $u = \pm w /2$ を得る。偏角は $w$ が第1象限にあることから二つの区間になり，正三角形と重心条件は同じ連立で処理する。

解法2（偏角の合同式と重心回転）

与式を差の平方へ直接まとめ、偏角を $π$ を法とする合同式で扱う。(問3)は正三角形の重心が外心でもあることを用い、 $A$ から残る2頂点を120度回転で復元する。

解答

解法1

(問1)

$d = β - α$ ， $u = \frac{γ - α}{β - α}$ とおくと，代入整理により

w^{2} d^{2} - 4 u^{2} d^{2} = 0

である。 $d \neq = 0$ より $u = \pm w /2$ 。 $w$ は第1象限にあるので， $u$ の偏角 $θ$ は

0 < θ < \frac{π}{2}, π < θ < \frac{3 π}{2} .

(問2)

正三角形なら $u = \frac{1 + 3 i}{2}$ または $\frac{1 - 3 i}{2}$ 。 $u = \pm w /2$ と $w$ の象限条件から

w = 1 + 3 i .

(問3)

$α = w$ ， $d = β - w$ とする。正三角形条件から $γ = w + \frac{w}{2} d$ ，重心条件から

\frac{w + ( w + d ) + ( w + \frac{w}{2} d )}{3} = \frac{w ^{2}}{2} .

よって $d = \frac{3 w ( w - 2 )}{w + 2} = - 3 + 3 i$ 。したがって

β = - 2 + 23 i, γ = - 2.

解法2（偏角の合同式と重心回転）

(問1)

与式を一方へ移して整理すると

w^{2} (β - α)^{2} = 4 (γ - α)^{2}

となる。したがって

u = \frac{γ - α}{β - α}

と置けば

u = \pm \frac{w}{2}

である。 $w$ は第1象限にあるので $0 < ar g w < π /2$ であり

ar g u \equiv ar g w (mod π)

である。よって $0 ≦ θ < 2 π$ における範囲は

0 < θ < \frac{π}{2}, π < θ < \frac{3 π}{2}

である。

(問2)

正三角形なら、辺 $A B$ から辺 $A C$ への回転比は

u = e^{iπ /3} または u = e^{- iπ /3}

である。 $w = \pm 2 u$ の4候補のうち第1象限にあるものは

w = 1 + 3 i

だけである。

(問3)

重心を $G$ とすると

G = \frac{w ^{2}}{2} = - 1 + 3 i, A = w = 1 + 3 i

であり

G A = 2

である。正三角形では重心と外心が一致するため、残る2頂点へのベクトルは $2$ を $\pm 120$ 度回転したものになる。したがって

G + 2 e^{2 π i /3} = - 2 + 23 i, G + 2 e^{4 π i /3} = - 2

を得る。(問1)の向き $u = w /2 = e^{iπ /3}$ に合うように頂点を対応させると

β = - 2 + 23 i, γ = - 2

である。

熊本大学 2021年度文理共通数学 第2問（理工系2）

問題

方針

解法1

解法2（偏角の合同式と重心回転）

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2（偏角の合同式と重心回転）

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2021年度
文理共通数学第2問（理工系2）